蓝以中上册 双线性函数与二次型 371页 习题四12 解答

castelu

习题四12：
　　给定两个$n$元实二次型
$$f=X'AX,g=X'BX$$
（1）举例说明$f$与$g$均非正定二次型时
$$f+g=X'(A+B)X$$
　　仍有可能为正定二次型；
（2）如果$f$和$g$的正惯性指数都小于$\frac{n}{2}$，证明$f+g$必为非正定二次型。

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解：
（1）令
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}\\
{0}&{1}
\end{array}} \right),B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}\\
{0}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　显然$f$与$g$均为半正定二次型
　　但是
$$f+g=X'(A+B)X=X'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}\\
{0}&{1}
\end{array}} \right)X$$
　　为正定二次型；
（2）存在
$$T_1,T_2 \in M_n(R)$$
　　使得
$$T_1'AT_1=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{E_r}&{0}\\
{0}&{D_1}
\end{array}} \right),T_2'BT_2=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{D_2}&{0}\\
{0}&{E_s}
\end{array}} \right),r<\frac{n}{2},s<\frac{n}{2}$$
　　其中$E_r$和$E_s$都是单位矩阵
　　$D_1$和$D_2$都是主对角线为$-1$或$0$的矩阵
　　令
$$X=T_1Y$$
　　则
$$f=X'AX=Y'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{E_r}&{0}\\
{0}&{D_1}
\end{array}} \right)Y$$
　　令
$$X=T_2Y$$
　　则
$$g=X'BX=Y'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{D_2}&{0}\\
{0}&{E_s}
\end{array}} \right)Y$$
　　于是
$$f+g=Y'CY$$
　　矩阵$C$的主对角线上$1$的个数不可能等于$n$
　　那么$f+g$必为非正定二次型。