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习题二19:
设$A$为正定矩阵,$B$为实数矩阵。
(1)证明:对于任意正整数$k$,$A^k$正定;
(2)如果对于某一正整数$r$有$A^rB=BA^r$,证明
$$AB=BA$$
解:
(1)$A$为实对称矩阵,可以看做$n$维欧式空间$V$内一个对称变换$A$在一组标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
下的矩阵
按定理,$V$内存在标准正交基
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$$
使$A$在此组基下矩阵为对角形
$$D=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)$$
令
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)T$$
则$T$为正交矩阵,即
$$T'=T^{-1}$$
于是
$$T'AT=T^{-1}AT=D$$
这表示$A$合同于对角矩阵$D$
这相当于实二次型作可逆线性变数替换化为标准型
$$\begin{eqnarray*}
f&=&X'AX=Y'(T'AT)Y=Y'DY\\
&=&\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2
\end{eqnarray*}$$
显然
$$f正定 \Leftrightarrow A正定 \Leftrightarrow \lambda_i>0(i=1,2,\cdots,n)$$
此时
$$T'A^kT=T^{-1}A^kT=(T^{-1}AT)^k=D^k$$
当
$$\lambda_i>0$$
时
$$\lambda_i^k>0$$
这表明$A^k$合同于主对角线元素全为正实数的对角矩阵$D^k$
故$A^k$也正定。
(2)若
$$A^rB=BA^r$$
则
$$T^{-1}(A^rB)T=T^{-1}(BA^r)T$$
由之立即推出
$$(T^{-1}AT)^r(T^{-1}BT)=(T^{-1}BT)(T^{-1}AT)^r$$
令
$$B_1=T^{-1}BT$$
则
$$D^rB_1=B_1D^r$$
设
$$B_1=(b_{ij})$$
利用左、右乘对角矩阵的性质可知有
$$\lambda_i^rb_{ij}=\lambda_j^rb_{ij}$$
若$b_{ij} \ne 0$,由上式推知
$$\lambda_i^r=\lambda_j^r$$
因
$$\lambda_i>0,\lambda_j>0$$
故
$$\lambda_i=\lambda_j$$
于是
$$\lambda_ib_{ij}=\lambda_jb_{ij}$$
若
$$b_{ij}=0$$
则此式自然成立
这表示
$$DB_1=B_1D$$
代回原式,得
$$(T^{-1}AT)(T^{-1}BT)=(T^{-1}BT)(T^{-1}AT)$$
两边左乘$T$,右乘$T^{-1}$,即得
$$AB=BA$$ |
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