蓝以中下册 带度量的线性空间 41页 习题二25 解答

castelu

习题二25：
　　设$A$是实$n$阶方阵且
$$AA'=A'A$$
　　令$\lambda_0$为$A$的特征多项式
$$f(\lambda)=|\lambda E-A|$$
　　的一个根，又设$X$为$C$上$n \times 1$矩阵，使
$$AX=\lambda_0X$$
　　证明：
$$A'X=\overline{\lambda_0}X$$

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解：
　　利用
$$AA'=A'A$$
　　以及（$\overline X$表示对$X$各分量取复共轭）
$$AX=\lambda_0X \Rightarrow A\overline X=\overline{\lambda_0}\overline X \Rightarrow X'A\overline X=\overline{\lambda_0}X'\overline X$$
$$X'A'=\lambda_0X' \Rightarrow X'A\overline X=\lambda_0X'\overline X$$
　　把上述事实用于下面的计算：
$$\begin{eqnarray*}
&&(A'X-\overline{\lambda_0}X)'\overline {(A'X-\overline{\lambda_0}X)}\\
&=&(X'A-\overline{\lambda_0}X')(A'\overline X-\lambda_0\overline X)\\
&=&X'AA'\overline X-\overline{\lambda_0}X'A\overline X-\lambda_0X'A\overline X+\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X\\
&=&X'A'A\overline X-\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X-\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X+\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X\\
&=&(AX)'\overline{AX}-\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X\\
&=&\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X-\overline{\lambda_0}\lambda_0X'\overline X=0
\end{eqnarray*}$$
　　现
$$A'X-\overline{\lambda_0}X \in C^n$$
　　它和
$$\overline {(A'X-\overline{\lambda_0}X)}$$
　　的对应分量相乘相加等于其各分量模的平方和，其值为$0$，即得
$$A'X-\overline{\lambda_0}X=0$$