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[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一27 解答

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发表于 2016-7-27 23:45:46 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
习题一27:
  证明:数域$K$内次数$>0$的首一多项式$f(x)$是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对数域$K$内任意的多项式$g(x)$必有
$$(f(x),g(x))=1$$
  或者对某一正整数$m$
$$f(x)|g^m(x)$$



解:
  必要性
  设
$$f(x)=p^s(x)(其中p(x)是不可约多项式)$$
  则对任意多项式$g(x)$,只有两种可能
(1)
$$(p(x),g(x))=1$$
(2)
$$p(x)|g(x)$$
  对于(1)的情况,有
$$(f(x),g(x))=1$$
  对于(2)的情形,有
$$p^s(x)|g^s(x)$$
  即
$$f(x)|g^s(x)$$
  此时取
$$s=m$$
  即可得证
  充分性
  假设$f(x)$不是某一个多项式的方幂,则
$$f(x)=p_1^{\lambda_1}(x)p_2^{\lambda_2}(x) \cdots p_n^{\lambda_n}(x)(n>1,\lambda_1是正整数,p_i(x)不可约)$$
  令
$$g(x)=p_1(x)$$
  由题设可知$f(x)$与$g(x)$只有两种可能
(1)
$$(f(x),g(x))=1$$
(2)
$$f(x)|g^m(x)(m为某一正整数)$$
  但两种情形都是不可能的,与题设矛盾,故原命题成立。
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