蓝以中下册 一元多项式环 174页 习题二3 解答

castelu

习题二3：
　　将$C$看做有理数域$Q$上的线性空间。设$f(x)$是$Q[x]$内的一个$n$次不可约多项式，$\alpha \in C$是$f(x)$的一个根。令
$$Q[\alpha]=\left\{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_i \in Q\right\}$$
　　证明$Q[\alpha]$是$C$的一个有限维子空间，并求$Q[\alpha]$的一组基。

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解：
（1）证明$Q[\alpha]$是一个数域
　　首先，$Q[\alpha]$显然对复数加、减、乘运算是封闭的
　　设
$$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1} \in Q[\alpha]$$
　　为非零复数，定义
$$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} \in Q[x]$$
　　因$f(x)$为$Q[x]$内不可约多项式，而
$$\deg g(x) \ge n-1 < \deg f(x)$$
　　故
$$f(x) \not| g(x)$$
　　此时应有
$$(g(x),f(x))=1$$
　　于是存在
$$u(x),v(x) \in Q[x]$$
　　使
$$u(x)g(x)+v(x)f(x)=1$$
　　令
$$x=\alpha$$
　　代入，则
$$u(\alpha)g(\alpha)+v(\alpha)f(\alpha)=u(\alpha)g(\alpha)=1$$
　　这表明
$$\frac{1}{g(\alpha})=u(\alpha) \in Q[\alpha]$$
　　由此推出$Q[\alpha]$对复数除法也封闭。故$Q[\alpha]$是一数域。
（2）下面证明$Q[\alpha]$作为$Q$上线性空间是$n$维的。设
$$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}=0 (a_i \in Q)$$
　　令
$$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$$
　　若
$$g(x) \ne 0$$
　　则因
$$f(x) \not| g(x)$$
　　应有
$$(f(x),g(x))=1$$
　　于是存在
$$u(x),v(x) \in Q[x]$$
　　使
$$u(x)g(x)+v(x)f(x)=1$$
　　以
$$x=\alpha$$
　　代入得
$$0=1$$
　　矛盾。故
$$g(x)=0$$
　　即
$$a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0$$
　　由此推知
$$1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$$
　　在$Q$上线性无关，因$Q[\alpha]$内任意向量均可被它线性表示
　　故它是$Q[\alpha]$作为$Q$上线性空间的一组基，因此
$$\dim Q[\alpha]=n$$