蓝以中下册 一元多项式环 175页 习题二6 解答

castelu

习题二6：
　　给定
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n \in Z[x]$$
　　设存在素数$p$及非负整数$k$，使
$$p \not| a_0,p|a_{k+1},p|a_{k+2},\cdots,p|a_n$$
　　但
$$p^2 \not| a_n$$
　　证明$f(x)$在$Z[x]$内有次数$\ge n-k$的不可约因子$\phi(x)$。

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解：
　　按$Z[x]$内的因子分解唯一定理，有
$$f(x)=p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}p_1^{f_1}(x) \cdots p_l^{f_l}(x)$$
　　因为
$$p \not| a_0$$
　　故
$$p \ne p_i(i=1,2,\cdots,k)$$
　　但
$$p|a_n$$
　　而$a_n$是由分解式中各因式的常数项连乘得出
　　故必有$f(x)$的一个次数$\ge 1$的不可约因子$\phi(x)$，其常数项被$p$整除
　　设
$$f(x)=\phi(x)g(x)$$
$$\phi(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m,p|b_m$$
$$g(x)=c_0x^h+c_1x^{h-1}+\cdots+c_h$$
　　现设
$$p|b_{m-i}(i=0,1,\cdots,l-1)$$
　　但
$$p \not| b_{m-l}$$
　　因
$$a_0=b_0c_0,p \not| a_0$$
　　故
$$p \not| b_0,p \not| c_0$$
　　于是
$$l \le m$$
　　现因
$$p^2 \not| a_n$$
　　而
$$a_n=b_mc_h$$
　　已知
$$p|b_m$$
　　故
$$p \not| c_h$$
　　现约定
$$c_{-k}=0(k=1,2,3,\cdots)$$
　　我们有
$$a_{n-l}=c_hb_{m-l}+c_{h-1}b_{m-(l-1)}+c_{h-2}b_{m-(l-2)}+\cdots+c_{h-l}b_m$$
　　因为
$$p|b_{m-i}(i=l-1,l-2,\cdots,1,0)$$
　　但
$$p \not| b_{m-l},p \not| c_h$$
　　于是
$$p \not| a_{n-l}$$
　　这推出
$$n-l \le k$$
　　即
$$n-k \le l \le m=\deg \phi(x)$$
　　即$f(x)$有一不可约因子$\phi(x)$，其次数$\ge n-k$。