曲线的渐近线

castelu

定义　若曲线$C$上的动点$P$沿着曲线无限地远离原点时，点$P$与某定直线$L$的距离趋于$0$，则称直线$L$为曲线$C$的渐近线。
　　若曲线$y=f\left( x \right)$有斜渐近线$y=kx+b$，则常数$k$与$b$可相继由下列两式来确定：
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{f\left( x \right)}{x} = k，\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\left[ f\left( x \right)-kx \right] = b。$$
　　反之，若由上述两式求得$k$与$b$，则可知$|PN| \to 0 \left( x \to +\infty \right)$，从而$y=kx+b$为曲线$y=f\left( x \right)$的渐近线。
　　若函数$f$满足
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = \infty（或\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f\left( x \right) = +\infty，\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f\left( x \right) = +\infty），$$
　　则按渐近线的定义可知，曲线$y=f\left( x \right)$有垂直于$x$轴的渐近线$x=x_0$，称为垂直渐近线。