微分

castelu

定义　设函数$y=f(x)$定义在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内。当给$x_0$一个增量$\Delta x_0$，$x_0 + \Delta x_0 \in U(x_0)$时，相应地得到函数的增量为
$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)。$$
　　如果存在常数$A$，使得$\Delta y$能表示成
$$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)，$$
        则称函数$f$在点$x_0$可微，并称上式中的第一项$A \Delta x$为$f$在点$x_0$的微分，记作
$$dy|_{x=x_0}=A \Delta x或df(x)|_{x=x_0}=A \Delta x。$$
　　由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于$\Delta x$的高阶无穷小量，由于$dy$是$\Delta x$的线性函数，所以当$A \ne 0$时，也说微
分$dy$是增量$\Delta y$的线性主部。
　　容易看出，函数$f$在点$x_0$可导和可微是等价的。

定理　函数$f$在点$x_0$可微的充要条件是函数$f$在点$x_0$可导，而且上式中的$A$等于$f'(x_0)$。
　　微分的几何解释可以理解为，当自变量由$x_0$增加到$x_0 + \Delta x$时，函数增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$，而微分则是在点$x_0$处的切线上与$\Delta x$所对应的增量
$$dy=f'(x_0) \Delta x$$
        并且
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}=0$$
　　若函数$y=f(x)$在区间上每一点都可微，则称$f$为$I$上的可微函数。函数$y=f(x)$在$I$上任一点$x$处的微分记作
$$dy=f'(x) \Delta x，x \in I，$$
        它不仅依赖于$\Delta x$，而且也依赖于$x$。
　　特别当$y=x$时，
$$dy=dx= \Delta x，$$
        这表示自变量的微分$dx$就等于自变量的增量。于是可将上式改写为
$$dy=f'(x)dx，$$
        即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
        如果把上式写成
$$f'(x)=\frac{dy}{dx}，$$
        那么函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商。因此，导数也常称为微商。在这之前，我们总把$\frac{dy}{dx}$作为一个运算记号的整体来看待，有了微分概念之后，也不妨把它看作一个分式了。