不定积分换元积分法

castelu

　　由复合函数求导法，可以导出换元积分法。

定理（换元积分法）　设$g(u)$在$[\alpha,\beta]$上有定义，$u=\phi(x)$在$[a,b]$上可导，且$\alpha \le \phi(x) \le \beta$，$x \in [a,b]$，并记
$$f(x)=g(\phi(x))\phi'(x),x \in [a,b]。$$
（i）若$g(u)$在$[\alpha,\beta]$上存在原函数$G(u)$，则$f(x)$在$[a,b]$上也存在原函数$F(x)$，$F(x)=G(\phi(x))+C$，即
$$\int f(x)dx=\int g(\phi(x))\phi'(x)dx=\int g(u)du=G(u)+C=G(\phi(x))+C。$$
（ii）又若$\phi'(x) \ne 0$，$x \in [a,b]$，则上述命题（i）可逆，即当$f(x)$在$[a,b]$上存在原函数$F(x)$时，$g(u)$在$[\alpha,\beta]$上也存在原函数$G(u)$，且$G(u)=F(\phi^{-1}(u))+C$，即
$$\int g(u)du=\int g(\phi(x))\phi'(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C=F(\phi^{-1}(u))+C。$$

　　上述换元积分法中反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式分别称为第一换元公式与第二换元公式）。
　　在使用第一换元公式时，也可把它写成如下简便形式：
$$\int g(\phi(x))\phi'(x)dx=\int g(\phi(x))d \phi(x)=G(\phi(x))+C。$$
　　使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式$f(x)dx$凑成$g(\phi(x))\phi'(x)dx$的形式，以便选取变换$u=\phi(x)$，化为易于积分的$\int g(u)du$。最终不要忘记把新引入的变量$(u)$还原为起始变量$(x)$。
　　第二换元公式从形式上看是第一换元公式的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式（最终同样不要忘记变量还原）。