三角函数有理式的不定积分

castelu

　　由$u(x)$、$v(x)$及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于$u(x)$、$v(x)$的有理式，并用$R(u(x),v(x))$表示。
　　$\int R(\sin x,\cos x)dx$是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换$t=\tan \frac{x}{2}$，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为
$$\sin x=\frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+ \cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+ \tan^2 \frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}，$$$$\cos x=\frac{\cos^2 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+ \cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{1- \tan^2 \frac{x}{2}}{1+ \tan^2 \frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}，$$$$dx=\frac{2}{1+t^2}dt，$$
　　所以$\int R(\sin x,\cos x)dx= \int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$。