Newton-Leibniz公式

castelu

定理　若函数$f$在$[a,b]$上连续，且存在原函数$F$，即$F'(x)=f(x)$，$x \in [a,b]$，则$f$在$[a,b]$上可积，且
$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)。$$
　　这称为牛顿-莱布尼茨公式，它也常写成
$$\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b。$$

注1　在应用牛顿-莱布尼茨公式时，$F(x)$可由积分法求得。

注2　定理条件尚可适当减弱，例如：
1）对$F$的要求可减弱为：在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F'(x)=f(x)$，$x \in (a,b)$。
2）对$f$的要求可减弱为：在$[a,b]$上可积（不一定连续）。

注3　证得连续函数必有原函数之后，本定理的条件中对$F$的假设便是多余的了。