原函数存在定理

castelu

定理（原函数存在定理）　若$f$在$[a,b]$上连续，则函数$\Phi$（变上限的定积分）在$[a,b]$上处处可导，且
$$\Phi'(x)=\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)，x \in [a,b]。$$

　　本定理沟通了导数和定积分这两个从表面上看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了$f$的一个原函数。正因为定理的重要作用而被誉为微积分学基本定理。
　　此外，又因$f$的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当$f$为连续函数时，它的任一原函数$F$必满足
$$F(x)=\int_a^x f(t)dt+C。$$
　　若在此式中令$x=a$，得到$C=F(a)$，从而有
$$\int_a^x f(t)dt=F(x)-F(a)。$$
　　再令$x=b$，即得
$$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)。$$
　　这是Newton-Leibniz公式的又一证明。比照定理（Newton-Leibniz公式），现在只需假设被积函数$f$为连续函数，其原函数$F$的存在性已为定理所保证，无需另作假设。