微元法

castelu

　　定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。
　　若令$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$，则当$f$为连续函数时，$\Phi'(x)=f(x)$，或$d \Phi=f(x)dx$，且
$$\Phi(a)=0，\Phi(b)=\int_a^b f(x)dx。$$
　　现在恰好要把问题倒过来：如果所求量$\Phi$是分布在某区间$[a,b]$上的，或者说它是该区间端点$x$的函数，即$\Phi=\Phi(x)$，$x \in [a,b]$，而且当$x=b$时，$\Phi(b)$适为最终所求的值。
　　在任意小区间$[x,x+\Delta x] \subset [a,b]$上，若能把$\Phi$的微小增量$\Delta \Phi$近似表示为$\Delta x$的线性形式
$$\Delta \Phi \approx f(x) \Delta x，$$
　　其中$f$为某一连续函数，而且当$\Delta x \to 0$时，$\Delta \Phi-f(x) \Delta x=o(\Delta x)$，亦即
$$d \Phi=f(x)dx，$$
　　那么只要把定积分$\int_a^b f(x)dx$计算出来，就是该问题所求的结果。
　　上述方法通常称为微元法。在采用微元法时，必须注意如下两点：
1）所求量$\Phi$关于分布区间必须是代数可加的。
2）微元法的关键是正确给出$\Delta \Phi$的近似表达式。在一般情况下，要严格检验$\Delta \Phi-f(x) \Delta x$是否为$\Delta x$的高阶无穷小量往往不是一件容易的事。因此对上式的合理性需特别小心。
　　对于平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为
$$\Delta A \approx |y| \Delta x，并有dA=|y|dx；$$
$$\Delta V \approx A(x) \Delta x，并有dV=A(x)dx；$$
$$\Delta s \approx \sqrt{1+y'^2} \Delta x，并有ds=\sqrt{1+y'^2}dx。$$
　　导出体积公式和导出弧长公式的过程，实际上就是在验证$\Delta \Phi-f(x) \Delta x=o(\Delta x)$。如果把弧长增量的近似表达式改取为$\Delta s \approx \Delta x$，将导致$s=\int_a^b dx=b-a$的明显错误。其根本原因就在于$\Delta s - \Delta x$并非是$\Delta x$的高阶无穷小量。