旋转曲面的面积

castelu

　　设平面光滑曲线$C$的方程为
$$y=f(x)，x \in [a,b]（不妨设f(x) \ge 0）。$$
这段曲线绕$x$轴旋转一周得到旋转曲面。下面用微元法导出它的面积公式。
　　通过$x$轴上点$x$与$x+\Delta x$分别作垂直于$x$轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当$\Delta x$很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即
$$\Delta S= \pi[f(x)+f(x+\Delta x)] \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$
$$=\pi[2f(x)+\Delta y] \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x，$$
　　其中$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。由于
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0，\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}=\sqrt{1+f'^2(x)}，$$
　　因此由$f'(x)$的连续性可以保证
$$\pi[2f(x)+\Delta y] \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x-2 \pi f(x) \sqrt{1+f'^2(x)} \Delta x=o(\Delta x)。$$
　　所以得到
$$dS=2 \pi f(x) \sqrt{1+f'^2f(x)}dx，$$
$$S=2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'^2f(x)}dx。$$
　　如果光滑曲线$C$由参数方程
$$x=x(t)，y=y(t)，t \in [\alpha,\beta]$$
　　给出，且$y(t) \ge 0$，那么由弧微分知识推知曲线$C$绕$x$轴旋转所得旋转曲面的面积为
$$S=2 \pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt。$$