一般项级数

castelu

　　关于一般数项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题。
　　若级数的各项符号正负相同，即
$$u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n+1}u_n+\cdots（u_n>0,n=1,2,\cdots），$$
　　则称为交错级数。

定理1（Leibniz判别法）　若交错级数满足下述两个条件：
（i）数列${u_n}$单调递减；
（ii）$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n=0$，
　　则交错级数收敛。

推论　若交错级数满足Leibniz判别法的条件，则收敛交错级数的余项估计式为
$$|R_n| \le u_{n+1}。$$

　　若级数
$$u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$$
　　各项绝对值所组成的级数
$$|u_1|+|u_2|+\cdots+|u_n|+\cdots$$
　　收敛，则称原级数为绝对收敛。

定理2　绝对收敛的级数一定收敛。

　　若级数收敛，但级数不绝对收敛，则称级数为条件收敛。
　　全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类。
　　下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质：

1、级数的重排
　　我们把正整数列${1,2,\cdots,n,\cdots}$到它自身的一一映射$f:n \to k(n)$称为正整数列的重排，相应地对于数列${u_n}$按映射$F:u_n \to u_{k(n)}$所得到的数列${u_{k(n)}}$称为原级数的重排。相应于此，我们也称级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{k(n)}$写作
$$v_1+v_2+\cdots+v_n+\cdots。$$

定理3　设级数绝对收敛，且其和等于$S$，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数。

　　注意：由条件收敛级数重排后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数。

2、级数的乘积
　　由级数的性质知道，若$\sum\limits u_n$为收敛级数，$a$为常数，则
$$a \sum\limits u_n=\sum\limits au_n，$$
　　由此立刻可以推广到收敛级数$\sum\limits_{i=1}^{\infty} u_n$与有限项和的乘积，即
$$(a_1+a_2+\cdots+a_m)\sum\limits_{i=1}^{\infty} u_n=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^m a_ku_n。$$
　　现在讨论在什么条件下能把它推广到无穷级数之间的乘积上去？
　　设有收敛级数
$$\sum\limits u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots=A，$$
$$\sum\limits v_n=v_1+v_2+\cdots+v_n+\cdots=B。$$
　　把级数$\sum\limits u_n$与$\sum\limits v_n$中每一项所有可能的乘积列成下表：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u_1v_1&u_1v_2&u_1v_3&\cdots&u_1v_n&\cdots\\ u_2v_1&u_2v_2&u_2v_3&\cdots&u_2v_n&\cdots\\ u_3v_1&u_3v_2&u_3v_3&\cdots&u_3v_n&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ u_nv_1&u_nv_2&u_nv_3&\cdots&u_nv_n&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{array}} \right) $$
　　这些乘积$u_iv_j$可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有
$$u_1v_1+u_1v_2+u_2v_2+u_2v_1+u_1v_3+u_2v_3+u_3v_3+u_3v_2+u_3v_1+\cdots$$
　　和
$$u_1v_1+u_1v_2+u_2v_1+u_1v_3+u_2v_2+u_3v_1+\cdots。$$

定理4（Cauchy定理）　若级数
$$\sum\limits u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots=A，$$
$$\sum\limits v_n=v_1+v_2+\cdots+v_n+\cdots=B。$$
　　都绝对收敛，则对所有乘积$u_iv_j$按任意顺序排列所得到的级数$\sum\limits w_n$也绝对收敛，且其和等于$AB$。

　　本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：

引理（分部求和公式，也称Abel变换）　设$\epsilon_i$，$v_i$（$i=1,2,\cdots,n$）为两组实数，若令
$$\sigma_k=v_1+v_2+\cdots+v_k（k=1,2,\cdots,n），$$
　　则有如下分部求和公式成立：
$$\sum\limits_{i=1}^n \epsilon_iv_i=(\epsilon_1-\epsilon_2)\sigma_1+(\epsilon_2-\epsilon_3)\sigma_2+\cdots+(\epsilon_{n-1}-\epsilon_n)\sigma_{n-1}+\epsilon_n \sigma_n。$$

推论（Abel引理）　若
（i）$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是单调数组；
（ii）对任一正整数$k$（$1 \le k \le n$）有$|\sigma_k| \le A$（这里$\sigma_k=v_1+\cdots+v_k$），则记$\epsilon=\max\limits_{k}{|\epsilon_k|}$时，
$$|\sum\limits_{k=1}^n \epsilon_kv_k| \le 3\epsilon A。$$

　　现在讨论级数
$$\sum\limits a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n+\cdots$$
　　收敛性的判别法

定理5（Abel判别法）　若${a_n}$为单调有界数列，且级数$\sum\limits b_n$收敛，则级数$\sum\limits a_nb_n$收敛。

定理6（Dirichlet判别法）　若数列${a_n}$单调递减，且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=0$，又级数$\sum\limits b_n$的部分和数列有界，则级数$\sum\limits a_nb_n$收敛。