初等函数的幂级数展开式

castelu

1、$k$次多项式函数$f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k$的展开式。
$$f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k，$$
即多项式函数的幂级数展开式就是它本身。

2、函数$f(x)=e^x$的展开式。
$$e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots，x \in (-\infty,+\infty)。$$

3、函数$f(x)=\sin x$的展开式。
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots，x \in (-\infty,+\infty)。$$

4、函数$f(x)=\cos x$的展开式。
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots，x \in (-\infty,+\infty)。$$

5、函数$f(x)=\ln (1+x)$的展开式。
$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+\cdots，x \in (-1,1]。$$

6、二项式函数$f(x)=(1+x)^{\alpha}$的展开式。
$$1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots。$$
　　当$\alpha \le -1$时，收敛域为$(-1,1)$；
　　当$-1<\alpha<0$时，收敛域为$(-1,1]$；
　　当$\alpha>0$时，收敛域为$[-1,1]$。
　　当$\alpha=-1$时得到
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots，(-1,1)。$$
　　当$\alpha=-\frac{1}{2}$时得到
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3+\cdots，(-1,1]。$$
　　以$x^2$与$-x^2$分别代入上式，可得
$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+\cdots+(-1)^nx^{2n}+\cdots，(-1,1)，$$
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^4+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^6+\cdots，(-1,1)。$$
　　对于上式分别逐项求积可得函数$\arctan x$与$\arcsin x$的展开式：
$$\arctan x=\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots，[-1,1]，$$
$$\arcsin x=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^5}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\frac{x^7}{7}+\cdots，[-1,1]。$$