Bessel不等式

castelu

定理（Bessel不等式）　若函数$f$在$[-\pi,\pi]$上可积，则
$$\frac{a_0^2}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n^2+b_n^2) \le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)dx，$$
其中$a_n$，$b_n$为$f$的Fourier系数。上式称为Bessel不等式。

推论1　若$f$为可积函数，则
$$\left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nxdx=0\\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nxdx=0 \end{array} \right.$$

　　这个推论也称为Riemann-Lebesgue定理。

推论2　若$f$为可积函数，则
$$\left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_0^{\pi} f(x)\sin (n+\frac{1}{2})xdx=0\\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_{-\pi}^0 f(x)\sin (n+\frac{1}{2})xdx=0 \end{array} \right.$$