二元函数的连续性

castelu

定义　设$f$为定义在点集$D \subset R^2$上的二元函数，$P_0 \in D$（它或者是$D$的聚点，或者是$D$的孤立点）。对于任给的正数$\epsilon$，总存在相应的正数$\delta$，只要$P \in U(P_0;\delta) \cap D$，就有
$$|f(P)-f(P_0)|<\epsilon，$$
　　则称$f$关于集合$D$在点$P_0$连续。在不致误解的情况下，也称$f$在点$P_0$连续。
　　若$f$在$D$上任何点都关于集合$D$连续，则称$f$为$D$上的连续函数。

　　由上述定义知道：若$P_0$是$D$的孤立点，则$P_0$必定是$f$关于$D$的连续点；若$P_0$是$D$的聚点，则$f$关于$D$在$P_0$连续等价于
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)=f(P_0)。$$
　　如果$P_0$是$D$的聚点，而上式不成立，则称$P_0$是$f$的不连续点（或称间断点）。特别当上式左边极限存在但不等于$f(P_0)$时，$P_0$是$f$的可去间断点。
　　设$P_0(x_0,y_0)$、$P(x,y) \in D$，$\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=y-y_0$，则称
$$\Delta z=\Delta f(x_0,y_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)$$
$$=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$
　　为函数$f$在点$P_0$的全增量。和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当
$$\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0),(x,y) \in D}\Delta z=0$$
　　时，$f$在点$P_0$连续。
　　如果在全增量中取$\Delta x=0$或$\Delta y=0$，则相应的函数增量称为偏增量，记作
$$\Delta_xf(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)，$$
$$\Delta_yf(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)。$$
　　一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。
　　若一个偏增量的极限为零，例如$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta_xf(x_0,y_0)=0$，它表示在$f$的两个自变量中，当固定$y=y_0$时，$f(x,y_0)$作为$x$的一元函数在$x_0$连续。同理，若$\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\Delta_yf(x_0,y_0)=0$，则表示$f(x_0,y)$在$y_0$连续。容易证明：当$f$在其定义域的内点$(x_0,y_0)$连续时，$f(x,y_0)$在$x_0$和$f(x_0,y)$在$y_0$都连续。但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性。
　　若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则。

定理（复合函数的连续性）　设函数$u=\phi(x,y)$和$v=\psi(x,y)$在$xy$平面上点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，并在点$P_0$连续；函数$f(u,v)$在$uv$平面上点$Q_0(u_0,v_0)$的某邻域内有定义，并在点$Q_0$连续，其中$u_0=\phi(x_0,y_0)$，$v_0=\phi(x_0,y_0)$。则复合函数$g(x,y)=f[\phi(x,y),\psi(x,y)]$在点$P_0$也连续。