二元函数极值问题

castelu

定义　设函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内有定义。若对于任何点$P(x,y) \in U(P_0)$，成立不等式
$$f(P) \le f(P_0)（或f(P) \ge f(P_0)），$$
则称函数$f$在点$P_0$取得极大（或极小）值，点$P_0$称为$f$的极大（或极小）值点。极大值、极小值统称极值。极大值点、极小值点统称极值点。

注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点。

　　由定义可见，若$f$在点$(x_0,y_0)$取得极值，则当固定$y=y_0$时，一元函数$f(x,y_0)$必定在$x=x_0$取相同的极值。同理，一元函数$f(x_0,y)$在$y=y_0$也取相同的极值。于是得到二元函数取极值的必要条件如下：

定理1（极值必要条件）　若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$存在偏导数，且在$P_0$取得极值，则有
$$f_x(x_0,y_0)=0，f_y(x_0,y_0)=0。$$

　　反之，若函数$f$在点$P_0$满足上式，则称点$P_0$为$f$的稳定点。定理指出：若$f$存在偏导数，则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点。
　　与一元函数相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。
　　为了讨论二元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$取得极值的充分条件，我们假定$f$具有二阶连续偏导数，并记
$$H_f(P_0)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_{xx}(P_0)&f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0)&f_{yy}(P_0) \end{array}} \right) =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy} \end{array}} \right)_{P_0}$$
　　它称为$f$在$P_0$的黑赛（Hesse）矩阵。

定理2（极值充分条件）　设二元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内具有二阶连续偏导数，且$P_0$是$f$的稳定点。则当$H_f$$(P_0)$是正定矩阵时，$f$在$P_0$取得极小值；当$H_f$$(P_0)$是负定矩阵时，$f$在$P_0$取得极大值；当$H_f$$(P_0)$是不定矩阵时，$f$在$P_0$不取极值。

　　根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理2又可写成如下比较实用的形式：
　　若函数$f$如定理2所设，$P_0$是$f$的稳定点，则有
（i）当$f_{xx}(P_0)>0$，$(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)(P_0)>0$时，$f$在点$P_0$取得极小值；
（ii）当$f_{xx}(P_0)<0$，$(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)(P_0)>0$时，$f$在点$P_0$取得极大值；
（iii）当$(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)(P_0)<0$时，$f$在点$P_0$不能取得极值；
（iv）当$(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)(P_0)=0$时，不能肯定$f$在点$P_0$是否取得极值。