隐函数组定理

castelu

定理（隐函数组定理）　若
（i）$F(x,y,u,v)$与$G(x,y,u,v)$在以点$P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$为内点的区域$V \in R^4$内连续；
（ii）$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$，$G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$（初始条件）；
（iii）在$V$内$F$，$G$具有一阶连续偏导数；
（iv）$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}$在点$P_0$不等于零，
　　则在点$P_0$的某一（四维空间）邻域$U(P_0) \subset V$，方程组
$$\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0 \end{array} \right.$$
　　惟一地确定了定义在点$Q_0(x_0,y_0)$的某一（二维空间）邻域$U(Q_0)$内的两个二元隐函数
$$u=f(x,y)，v=g(x,y)。$$
　　使得
1、$u_0=f(x_0,y_0)$，$v_0=g(x_0,y_0)$且当$(x,y) \in U(Q_0)$时，
$$(x,y,f(x,y),g(x,y)) \in U(P_0)，$$
$$F(x,y,f(x,y),g(x,y)) \equiv 0。$$
$$G(x,y,f(x,y),g(x,y)) \equiv 0；$$
2、$f(x,y)$，$g(x,y)$在$U(Q_0)$内连续；
3、$f(x,y)$，$g(x,y)$在$U(Q_0)$内有一阶连续偏导数，且
$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}，\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}，$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}。$$

注意　在定理中，若将条件（iv）改为$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}|_{P_0} \ne 0$，则方程
$$\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0 \end{array} \right.$$
　　所确定的隐函数组相应是$y=y(u,v)$，$v=v(u,x)$；其他情形均可类似推得。