反函数组定理

castelu

定理（反函数组定理）　设函数组
$$u=u(x,y)，v=v(x,y)$$
　　及其一阶偏导数在某区域$D \subset R^2$上连续，点$P_0(x_0,y_0)$是$D$的内点，且
$$u_0=u(x_0,y_0)，v_0=v(x_0,y_0)，\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}|_{P_0} \ne 0，$$
　　则在点$P_0'(u_0,v_0)$的某一邻域$U(P_0')$内存在惟一的一组反函数
$$x=x(u,v)，y=y(u,v)，$$
　　使得$x_0=x(u_0,v_0)，y_0=y(u_0,v_0)，且当$(u,v) \in U(P_0')$时，有
$$(x(u,v),y(u,v)) \in U(P_0)$$
　　以及恒等式
$$u \equiv u(x(u,v),y(u,v))，v \equiv v(x(u,v),y(u,v))。$$

　　此外，反函数组
$$x=x(u,v)，y=y(u,v)$$
　　在$U(P_0')$内存在连续的一阶偏导数，且
$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial y}/\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}，\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial u}{\partial y}/\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}，$$
$$\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}，\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial u}{\partial x}/\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}。$$
　　由上式看到：互为反函数组的
$$u=u(x,y)，v=v(x,y)$$
　　与
$$x=x(u,v)，y=y(u,v)，$$
　　它们的Jacobi行列式互为倒数，即
$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1。$$