条件极值

castelu

　　条件极值问题的一般形式是在条件组
$$\phi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0，k=1,2,\cdots,m，（m<n）$$
　　的限制下，求目标函数
$$y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的极值。
　　把条件极值问题转化为讨论函数
$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi(x,y)$$
　　的无条件极值问题。这种方法称为Lagrange乘数法，辅助函数$L$称为Lagrange函数，辅助变量$\lambda$称为Lagrange乘数。
　　一般条件极值问题的Lagrange函数是
$$L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)$$
$$=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k \phi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)，$$
　　其中$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\cdots$，$\lambda_m$为Lagrange乘数，并有下面定理：

定理　设在条件
$$\phi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0，k=1,2,\cdots,m，（m<n）$$
　　的限制下，求函数
$$y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的极值问题，其中$f$与$\phi_k$（$k=1,2,\cdots,m$）在区域$D$内有连续的一阶偏导数。若$D$的内点$P_0(x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)})$是上述问题的极值点，且Jacobi矩阵
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial \phi_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial \phi_1}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial \phi_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial \phi_m}{\partial x_n} \end{array}} \right)_{P_0}$$
　　的秩为$m$，则存在$m$个常数$\lambda_1^{(0)}$，$\cdots$，$\lambda_m^{(0)}$，使得$(x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)},\lambda_1^{(0)},\cdots,\lambda_m^{(0)})$为Largrange函数
$$L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)$$
$$=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k \phi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的稳定点，即$(x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)},\lambda_1^{(0)},\cdots,\lambda_m^{(0)})$为下述$n+m$个方程：
$$\left\{ \begin{array}{l} L_{x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_1}=0\\ \cdots\\ L_{x_n}=\frac{\partial f}{\partial x_n}+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_n}=0\\ L_{\lambda_1}=\phi_1(x_1,\cdots,x_n)=0\\ \cdots\\ L_{\lambda_m}=\phi_m(x_1,\cdots,x_n)=0 \end{array} \right.$$
　　的解。