第一型曲线积分

castelu

定义　设$L$为平面上可求长度的曲线段，$f(x,y)$为定义在$L$上的函数。对曲线$L$作分割$T$，它把$L$分成$n$个可求长度的小曲线段$L_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$L_i$的弧长记为$\Delta s_i$，分割$T$的细度为$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n} \Delta s_i$，在$L_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$（$i=1,2,\cdots,n$）。若有极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i=J$$
　　且$J$的值与分割$T$与点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关，则称此极限为$f(x,y)$在$L$上的第一型曲线积分，记作
$$\int_L f(x,y)ds。$$

　　若$L$为空间可求长曲线段，$f(x,y,z)$为定义在$L$上的函数，则可类似地定义$f(x,y,z)$在空间曲线$L$上的第一型曲线积分，并且记作
$$\int_L f(x,y,z)ds。$$
　　关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质。下面列出平面上第一型曲线积分的性质，对于空间的第一型曲线积分的性质，可仿此写出。
1、若$\int_L f_i(x,y)ds$（$i=1,2,\cdots,k$）存在，$c_i$（$i=1,2,\cdots,k$）为常数，则$\int_L \sum\limits_{i=1}^k c_i f_i(x,y)ds$也存在，且
$$\int_L \sum\limits_{i=1}^k c_i f_i(x,y)ds=\sum\limits_{i=1}^k c_i \int_L f_i(x,y)ds。$$
2、若曲线段$L$由曲线$L_1$，$L_2$，$\cdots$，$L_k$首尾相接而成，且$\int_{L_i} f(x,y)ds$（$i=1,2,\cdots,k$）都存在，则$\int_L f(x,y)ds$也存在，且
$$\int_L f(x,y)ds=\sum\limits_{i=1}^k \int_{L_i} f(x,y)ds。$$
3、若$\int_L f(x,y)ds$与$\int_L g(x,y)ds$都存在，且在$L$上$f(x,y) \le g(x,y)$，则
$$\int_L f(x,y)ds \le \int_L g(x,y)ds。$$
4、若$\int_L f(x,y)ds$存在，则$\int_L |f(x,y)|ds$也存在，且
$$|\int_L f(x,y)ds| \le \int_L |f(x,y)|ds。$$
5、若$\int_L f(x,y)ds$存在，$L$的弧长为$s$，则存在常数$c$，使得
$$\int_L f(x,y)ds=cs，$$
　　这里$\inf\limits_L f(x,y) \le  c \le \sup\limits_L f(x,y)$。

定理　设有光滑曲线
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=\phi(t),\\ y=\psi(t), \end{array} \right.t \in [\alpha,\beta]，$$
　　函数$f(x,y)$为定义在$L$上的连续函数，则
$$\int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t),\psi(t)) \sqrt{\phi^2(t)+\psi^2(t)}dt。$$

　　当曲线
$$y=\psi(x)，x \in [a,b]$$
　　表示，且$\psi(x)$在$[a,b]$上有连续的导函数时，
$$\int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t),\psi(t)) \sqrt{\phi^2(t)+\psi^2(t)}dt。$$
　　成为
$$\int_L f(x,y)ds=\int_c^d f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^2(y)}dy。$$