三重积分

castelu

　　设$f(x,y,z)$是定义在三维空间可求体积的有界区域$V$上的有界函数。现用若干光滑曲面所组成的曲面网$T$来分割$V$，它把$V$分成$n$个小区域$V_1$，$V_2$，$\cdots$，$V_n$。记$V_i$的体积为$\Delta V_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n}{V_i的直径}$。在每个$V_i$中任取一点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作积分和
$$\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta V_i。$$

定义　设$f(x,y,z)$为定义在三维空间可求体积的有界闭区域$V$上的函数，$J$是一个确定的数。若对任给的正数$\epsilon$，总存在某一正数$\delta$，使得对于$V$的任何分割$T$，只要$||T||<\delta$，属于分割$T$的所有积分和都有
$$|\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta V_i-J|<\epsilon，$$
　　则称$f(x,y,z)$在$V$上可积，数$J$称为函数$f(x,y,z)$在$V$上的三重积分，记作
$$J=\iiint\limits_V f(x,y,z)dV或J=\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz，$$
　　其中$f(x,y,z)$称为被积函数，$x$，$y$，$z$称为积分变量，$V$称为积分区域。

　　当$f(x,y,z) \equiv 1$时，$\iiint\limits_V dV$在几何上表示$V$的体积。
　　三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质。例如，类似于二重积分，有
（i）有界闭区域$V$上的连续函数必可积；
（ii）如果有界闭区域$V$上的有界函数$f(x,y,z)$的间断点集中存在有限多个零体积（可类似于零面积那样来定义）的曲面上，则$f(x,y,z)$在$V$上必可积。

定理　若函数$f(x,y,z)$在长方体$V=[a,b] \times [c,d] \times [e,h]$上的三重积分存在，且对任何$x \in [a,b]$，二重积分
$$I(x)=\iint\limits_D f(x,y,z)dydz$$
　　存在，其中$D=[c,d] \times [e,h]$，则积分
$$\int_a^b dx \iint\limits_D f(x,y,z)dydz$$
　　也存在，且
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b dx \iint\limits_D f(x,y,z)dydz。$$

　　若上式右边的二重积分$\iint\limits_D f(x,y,z)dydz$可化为累次积分来计算，于是我们就能把左边的三重积分化为三次积分来计算。如化为先对$z$，然后对$y$，最后对$x$来求积分，则为
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b dx \int_c^d dy \int_e^h f(x,y,z)dz。$$
　　有时为了计算上的方便，也可采用其他的计算顺序。
　　为了讨论一般区域上的三重积分的计算，先研究一类简单区域上的积分。设积分区域$V$由集合
$$V=\left\{(x,y,z)|z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y),y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
　　所确定，这里$V$在$xy$平面上的投影区域
$$D=\left\{(x,y)|y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
　　是一个$x$型区域，它对于平行于$z$轴且通过$D$内点的直线与$V$的边界至多交于两点。
　　现设$f(x,y,z)$在$V$上连续，$z_1(x,y)$，$z_2(x,y)$在$D$上连续，$y_1(x)$，$y_2(x)$在$[a,b]$上连续，则有
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iint\limits_D dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz$$
$$=\int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz。$$
　　同样地，当把区域$V$投影到$zx$平面或$yz$平面上时，也可写出相应的累次积分公式
　　对于一般区域上的三重积分，常可把它分解成有限个简单区域上的积分和来计算。
　　和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便。
　　设变换$T$：$x=x(u,v,w)$，$y=y(u,v,w)$，$z=z(u,v,w)$，把$uvw$空间中的区域$V'$一对一地映成$xyz$空间中的区域$V$，并设函数$x(u,v,w)$，$y(u,v,w)$，$z(u,v,w)$及它们的一阶偏导数在$V'$内连续且函数行列式
$$J(u,v,w)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w} \end{array}} \right| \ne 0，(u,v,w) \in V'。$$
　　于是与二重积分换元法一样，可以证明成立下面的三重积分换元公式：
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_V f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw，$$
其中$f(x,y,z)$为$V$上可积。

　　下面介绍几个常用的变换公式：
1、柱面坐标变换
$$T:\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta,0 \le r < +\infty\\ y=r\sin \theta,0 \le \theta \le 2\pi\\ z=z,-\infty<z<+\infty \end{array} \right.$$
　　由于变换$T$的函数行列式
$$J(r,\theta,z)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cos \theta&-r\sin \theta&0\\ \sin \theta&r\cos \theta&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|=r，$$
　　按
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_V f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw$$
　　三重积分的柱面坐标换元公式为
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_V f(r\cos \theta,r\sin \theta,z)rdrd\theta dz，$$
　　这里$V'$为$V$在柱面坐标变换下的原象。
　　与极坐标变换一样，柱面坐标变换并非是一对一的，并且当$r=0$时，$J(u,v,w)=0$，但我们仍可证明上式成立。
　　在柱面坐标系中，用$r$为常数，$\theta$为常数，$z$为常数的平面分割$V'$时，变换后在$xyz$直角坐标系中，$r$为常数是以$z$轴为中心轴的圆柱面，$\theta$为常数是过$z$轴的半平面，$z$为常数是垂直于$z$轴的平面。
　　用柱面坐标计算三重积分，通常是找出$V$在$xy$平面上的投影区域$D$，即当
$$V=\left\{(x,y,z)|z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y),(x,y) \in D \right\}$$
　　时，
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iint\limits_D dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz，$$
　　其中二重积分部分应用极坐标计算。

2、球坐标变换
$$T:\left\{ \begin{array}{l} x=r\sin \phi\cos \theta,0 \le r < +\infty\\ y=r\sin \phi\sin \theta,0 \le \phi \le \pi\\ z=r\cos\phi,0 \le \theta \le 2\pi \end{array} \right.$$
　　由于
$$J(r,\phi,\theta)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \sin \phi\cos \theta&\cos \phi\cos \theta&-r\sin \phi\sin \theta\\ \sin \phi\sin \theta&r\cos\ phi\sin \theta&r\sin \phi\cos \theta\\ \cos \phi&-r\sin \phi&0 \end{array}} \right|=r^2\sin\phi，$$
　　当$\phi$在$[0,\pi]$上取值时，$\sin \phi \ge 0$，所以在球坐标变换下，按
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_V f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw$$
　　三重积分的球坐标换元公式为
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_V f(r\sin \phi\cos \theta,r\sin \phi\sin \theta,r\cos \phi)r^2\sin \phi drd\phi d\theta，$$
　　这$V$为$V'$在球坐标变换下$T$的原象。
　　类似地，球坐标变换并不是一对一的，并且当$r=0$或$\phi=0$或$\pi$时，$J(r,\phi,\theta)=0$。但我们仍然可以证明上式成立。
　　在球坐标系中，用$r$为常数，$\phi$为常数，$\theta$为常数的平面分割$V'$时，变换后在$xyz$直角坐标系中，$r$为常数是以原点为心的球面，$\phi$为常数是以原点为顶点，$z$轴为中心轴的圆锥面，$\theta$为常数是过$z$轴的半平面。
　　在球坐标系下，当区域$V'$为集合
$$V'=\left\{(r,\phi,\theta)|r_1(\phi,\theta) \le r \le r_2(\phi,\theta),\phi_1(\theta) \le \phi \le \phi_2(\theta),\theta_2 \le \theta \le \theta_2 \right\}$$
时，上式可化为累次积分
$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz=\int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{\phi_1(\theta)}^{\phi_2(\theta)} d\phi \int_{r_1(\phi,\theta)}^{r_2(\phi,\theta)} f(r\sin \phi,\cos \theta,r\sin \phi\sin \theta,r\cos \phi)r^2\sin \phi dr。$$