反常二重积分

castelu

定义1　设$f(x,y)$为定义在无界区域$D$上的二元函数。若对于平面上任意包围原点的光滑封闭曲线$\gamma$，$f(x,y)$在曲线$\gamma$所围的有界区域$E_\gamma$与$D$的交集$E_\gamma \cap D=D_\gamma$上恒可积。令$d_\gamma=\min\limits\left\{\sqrt{x^2+y^2}|(x,y) \in \gamma \right\}$。若极限
$$\lim\limits_{d_\gamma \rightarrow \infty} \iint\limits_{D_\gamma} f(x,y)d\sigma$$
存在有限，且与$\gamma$的取法无关，则称$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分收敛，并记
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{d_\gamma \rightarrow \infty} \iint\limits_{D_\gamma} f(x,y)d\sigma，$$
否则称$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分发散，或简称$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$发散。

定理1　设在无界区域$D$上$f(x,y) \ge 0$，$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\cdots$，$\gamma_n$，$\cdots$为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足
（i）$d_n=\inf\limits\left\{\sqrt{x^2+y^2}|(x,y) \in \gamma_n \to +\infty \right\}$（$n \to \infty$）；
（ii）$I=\sup\limits_n \iint\limits_{D_n} f(x,y)d\sigma<+\infty$，
其中$D_n$为$\gamma_n$所围的有界区域$E_n$与$D$的交集，则反常二重积分收敛，并且
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=I。$$

　　由定理1容易看到：若在$D$上$f(x,y) \ge 0$，且它在$D$的任何有界子区域上可积且积分值有界，则$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分存在。反过来，若$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分存在，则$f(x,y)$在$D$的任何有界子区域上的积分有上界。

定理2　若在无界区域$D$上$f(x,y) \ge 0$，则反常二重积分收敛的充要条件是：在$D$的任何有界子区域上$f(x,y)$可积，且积分值有上界。

定理3　函数$f(x,y)$在无界区域$D$上的反常二重积分收敛的充要条件是$|f(x,y)|$在$D$上的反常二重积分收敛。

定理4（Cauchy判别法）　设$f(x,y)$在无界区域$D$的任何有界子区域上二重积分存在，$r$为$D$内的点$(x,y)$到原点的距离：
$$r=\sqrt{x^2+y^2}。$$
（i）若当$r$足够大时，$|f(x,y)| \le \frac{c}{r^p}$，其中$c$为正的常数，则当$p>2$时，反常二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$收敛；
（ii）若$f(x,y)$在$D$内满足$|f(x,y)| \ge \frac{c}{r^p}$，其中$D$是含有顶点为原点的无限扇形区域，则当$p \le 2$时，反常二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$发散。

定义2　设$P$为有界区域$D$上的一个聚点，$f(x,y)$在$D$上除点$P$外皆有定义，且在$P$的任何空心邻域内无界，$\Delta$为$D$中任何含有$P$的小区域，$f(x,y)$在$D-\Delta$上可积。又设$d$表示$\Delta$的直径，即
$$d=\sup\limits\left\{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}|(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in \Delta \right\}。$$
　　若极限
$$\lim\limits_{d \rightarrow 0} \iint\limits_{D-\Delta} f(x,y)d\sigma$$
　　存在且有限，并且与$\Delta$的取法无关，则称$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分收敛，记作
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{d \rightarrow 0} \iint\limits_{D-\Delta} f(x,y)d\sigma，$$
　　否则称$f(x,y)$在$D$上的反常二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$发散。

　　与无界区域上反常二重积分一样，对无界函数的反常二重积分也可建立相应的收敛性定理。

定理5（Cauchy判别法）　设$f(x,y)$在有界区域$D$上除点$P(x_0,y_0)$外处处有定义，点$P(x_0,y_0)$为它的瑕点，则下面两个结论成立。
（i）若在点$P$的附近有
$$|f(x,y)| \le \frac{c}{r^{\alpha}}，$$
　　其中$c$为常数，$r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$，则当$\alpha<2$时，反常二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$收敛；
（ii）若在点$P$的附近有
$$|f(x,y)| \ge \frac{c}{r^{\alpha}}，$$
　　且$D$含有以点$P$为顶点的角形区域，则当$\alpha \ge 2$时，反常二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$发散。