曲面的侧

castelu

　　为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。
　　设连通曲面$S$上到处都有连续变动的切平面（或法线），$M$为曲面$S$上的一点，曲面在$M$处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。设$M_0$为$S$上任一点，$L$为$S$上任一经过点$M_0$，且不超出$S$边界的闭曲线。又设$M$为动点，它在$M_0$处与$M_0$有相同的法线方向，且有如下特性：当$M$从$M_0$出发沿$L$连续移动，这时作为曲面上的点$M$，它的法线方向也连续地变动。最后当$M$沿$L$回到$M_0$时，若这时$M$的法线方向仍与$M_0$的法线方向相一致，则说这曲面$S$是双侧曲面；若与$M_0$的法线方向相反，则说$S$是单侧曲面。
　　我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。单侧曲面的一个典型例子是Mobius带。它的构造方法如下：取一矩形长纸带$ABCD$，将其一端扭转$180^\circ$后与另一端粘合在一起（即让$A$与$C$重合，$B$与$D$重合），可以考察这个带状曲面是单侧的。事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线$L$，动点$M$从$L$上的点$M_0$出发，其法线方向与$M_0$的法线方向相一致，当$M$沿$L$连续变动一周回到$M_0$时，这时$M$的法线方向却与$M_0$的法线方向相反。对Mobius带还可更简单地说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边界而将它全部涂遍（即把原纸带的两面都涂上同样的颜色）。
　　通常由$z=z(x,y)$所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与$z$轴正向的夹角成锐角的一侧（也称为上侧）为正侧时，则另一侧（也称下侧）为负侧。当$S$为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。