两类曲面积分的联系

castelu

　　与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系。
　　设$S$为光滑曲面，并以上侧为正侧，$R$为$S$上的连续函数，曲面积分在$S$的正侧进行，因而有
$$\iint\limits_S R(x,y,z)dxdy=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{xy}}。$$
　　由曲面面积公式
$$\Delta S_i=\iint\limits_{S_{i_{xy}}} \frac{1}{\cos \gamma}dxdy，$$
　　其中$\gamma$是曲面$S_i$的法线方向与$z$轴正向的夹角，它是定义在$S_{i_{xy}}$上的函数。因为积分沿曲面正侧进行，所以$\gamma$是锐角。又由$S$是光滑的，所以$\cos \gamma$在闭区域$S_{i_{xy}}$上连续。应用中值定理，在$S_{i_{xy}}$内必存在一点，使这点的法线方向与$z$轴正向的夹角$\gamma_i^*$满足等式
$$\Delta S_i=\frac{1}{\cos\gamma_i^*}\Delta S_{i_{xy}}。$$
　　或
$$\Delta S_{i_{xy}}=\cos \gamma_i^* \cdot \Delta S_i。$$
　　于是
$$R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{xy}}=R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cos \gamma_i^* \cdot \Delta S_i。$$
$n$个部分相加后得
$$\sum\limits_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{xy}}=\sum\limits_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cos\gamma_i^* \cdot \Delta S_i。$$
　　现以$\cos \gamma_i$表示曲面$S_i$在点$(x_i,y_i,z_i)$的法线方向与$z$轴正向夹角的余弦，则由$\cos \gamma_i$的连续性，可推得当$||T|| \to 0$时，上式右端极限存在。因此得到
$$\iint\limits_S R(x,y,z)dxdy=\iint\limits_S R(x,y,z)\cos \gamma dS。$$
　　这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角$\gamma$改为$\gamma \pm \pi$。因而$\cos \gamma$也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号。同理可证：
$$\iint\limits_S P(x,y,z)dydz=\iint\limits_S P(x,y,z)\cos \alpha dS，$$
$$\iint\limits_S Q(x,y,z)dzdx=\iint\limits_S Q(x,y,z)\cos \beta dS，$$
　　其中$\alpha$，$\beta$分别是$S$上的法线方向与$x$轴正向和$y$轴正向的夹角。一般地有
$$\iint\limits_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$
$$=\iint\limits_S [P(x,y,z)\cos \alpha+Q(x,y,z)\cos \beta+R(x,y,z)\cos \gamma]dS。$$
　　这样，在确定了余弦函数$\cos \alpha$，$\cos \beta$，$\cos \gamma$之后，由上三式便建立了两种不同类型曲面积分的联系。