旋度场

castelu

　　设
$$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$
　　为空间区域$V$上的向量函数。对$V$上每一点$(x,y,z)$，定义向量函数
$$F(x,y,z)=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})，$$
　　称它为向量函数$A$在$(x,y,z)$处的旋度，记作
$$F(x,y,z)={\rm rot} A。$$
　　设$(\cos \alpha_t,\cos \beta_t,\cos \gamma_t)$是曲线$L$的正向上的单位切线向量$t_0$的方向余弦，向量$ds=(\cos \alpha_t,\cos \beta_t,\cos \gamma_t)ds=t_0dl$称为弧长元素向量。于是Stokes公式可写成如下向量形式：
$$\iint\limits_S {\rm rot} A \cdot dS=\oint_L A \cdot ds。$$
　　为了说明旋度与坐标系的选取无关，我们在场$V$中任意取一点$M_0$，通过$M_0$作平面$\pi$垂直于曲面$S$的法向量$n_0$，且在$\pi$上围绕$M_0$作任一封闭曲线$L$，记$L$所围区域为$D$，则由上式有
$$\iint\limits_S {\rm rot} A \cdot dS=\iint\limits {\rm rot} A \cdot n_0dS=\oint_L A \cdot ds。$$
　　对左端二重积分应用中值定理可得
$$\iint\limits_D {\rm rot} A \cdot n_0dS=({\rm rot} A \cdot n_0)_{M^*}\mu(D)=\oint_L A \cdot ds，$$
　　其中$\mu(D)$为区域$D$的面积，$M^*$为$D$中的某一点。因此
$$({\rm rot} A \cdot n_0)_{M^*}=\frac{\oint_L A \cdot ds}{\mu(D)}。$$
　　现让$D$收缩到点$M_0$（记作$D \to M_0$）时，于是$M^*$趋于$M_0$，因此有
$$({\rm rot} A \cdot n_0)_{M_0}=\lim\limits_{D \rightarrow M_0}\frac{\oint_L A \cdot ds}{\mu(D)}。$$
　　上式左边为${\rm rot} A$在法线方向上的投影，因此它也确定了${\rm rot} A$的本身，所以上式也可以作为旋度的另一种定义形式。由于上式右边的极限与坐标系的选取无关，所以${\rm rot} A$也与坐标系选取无关。
　　由向量函数$A$的旋度${\rm rot} A$所定义的向量场，称为旋度场。
　　应用算符$\nabla$表示$A$的旋度是
$${\rm rot} A=\nabla \times A。$$

　　旋度有如下一些基本性质：
1、若$u$，$v$是向量函数，则
$$\nabla \times (u+v)=\nabla \times u+\nabla \times v，$$
$$\nabla (u \cdot v)=u \times (\nabla \times v)+v \times (\nabla \times u)+(u \cdot \nabla)v+(v \cdot \nabla)u，$$
$$\nabla \cdot (u \times v)=v \cdot \nabla \times u-u \cdot \nabla \times v，$$
$$\nabla \times (u \times v)=(v \cdot \nabla)u-(u \cdot \nabla)v+(\nabla \cdot v)u-(\nabla \cdot u)v。$$
2、若$\phi$数量函数，$A$是向量函数，则
$$\nabla \times (\phi A)=\phi(\nabla \times A)+\nabla \phi \times A。$$
3.若$\phi$数量函数，$A$是向量函数，则
$$\nabla \cdot (\nabla \times A)=0，$$
$$\nabla \times \nabla \phi=0，$$
$$\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla(\nabla \cdot A)-\nabla^2A=\nabla(\nabla \cdot A)-\Delta A。$$