n维欧式空间

castelu

　　所有$n$个有序实数组$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的全体称为$n$维向量空间，或简称$n$维空间，其中每个有序实数组称为$n$维空间中的一个向量（或一个点），记作
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right)$$
　　我们约定向量总是指列向量；记号$x^T$表示向量$x$的转置，因此$x^T$是一个行向量。向量$x$中的数$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$是这个向量（或点）的$n$个分量（或坐标）。
　　设$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$与$y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$是$n$维空间中的任意两个向量，$\alpha$为任意实数，则向量$x$与$y$之和为
$$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)^T。$$
　　数量$\alpha$与向量$x$的数乘积为
$$\alpha x=(\alpha x_1,\alpha x_2,\cdots,\alpha x_n)^T。$$
　　向量$x$与$y$的内积定义为
$$x^Ty=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n。$$

　　内积具有如下性质：
1、$x^Tx \ge 0$，当且仅当$x=0$时，$x^Tx=0$；
2、$x^Ty=y^Tx$；
3、$\alpha(x^Ty)=(\alpha x)^Ty=x^T(\alpha y)$，$\alpha$为实数；
4、$(x+y)^Tz=x^Tz+y^Tz$。

　　定义了内积的$n$维空间叫做$n$维欧几里得（Euclid）空间（简称$n$维欧氏空间），记作$R^n$。
　　利用内积定义向量$x \in R^n$的模为
$$||x||=(x^Tx)^{\frac{1}{2}}=(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2)^{\frac{1}{2}}。$$

　　向量模具有如下性质：
1、$||x|| \ge 0$，当且仅当$x=0$时，$||x||=0$；
2、$||\alpha x||=|\alpha|||x||$，$\alpha$为实数；
3、$||x+y|| \le ||x||+||y||$（三角形不等式）；
4、$||x^Ty|| \le ||x||||y||$（Cauchy-Schwarz不等式）。

　　$R^n$中任意两点$x$与$y$的距离定义为
$$\rho(x,y)=||x-y||=[\sum\limits_{i=1}^n (x_i-y_i)^2]^{\frac{1}{2}}。$$
　　这样定义的距离显然具有与模相仿的性质，如：
$$\rho(x,z) \le \rho(x,y)+\rho(y,z)（三角形不等式）。$$
　　下面是$R^n$中点集的例子，不难从二维或三维空间的相应例子去理解它。
　　点集$\left\{x|||x||=r| \subset R^n \right\}$表示以$O$为中心，$r$为半径的$n$维球面。
　　点集$\left\{x|||x-a|| < \delta| \subset R^n \right\}$表示以点$a$为中心，半径为$\delta$的$n$维球形邻域；$\left\{x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)||x_i-a_i| < \delta,i=1,2,\cdots,n \right\}$则是$n$维方形邻域。我们仍用$U(a;\delta)$来记点$a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$的上述这两类邻域，而$U^\circ(a;\delta)$则表示相应的空心邻域。
　　点集$\left\{x|c^Tx=d,c \ne 0 \right\} \subset R^n$。当$n=2$时，它就是平面上的一条直线；当$n=3$时，它就是$R^3$中的一个平面；当$n>3$时，称它为$R^n$中的一个超平面。
　　向量方程$x=\phi(t)$的各个分量式即为如下方程组：
$$x_i=\phi_i(t)，i=1,2,\cdots,n，t \in [\alpha,\beta]。$$
设$\phi_i$为$[\alpha,\beta]$上的连续函数（$i=1,2,\cdots,n$）。当$n=2$时，它是$R^2$中的一条连续曲线；当$n>3$时，仍称它是$R^n$中的连续曲线。特别当上式是
$$\phi_i(t)=a_it+b_i，i=1,2,\cdots,n，t \in (-\infty,+\infty)$$
（$a_i$，$b_i$为常数，$a_i$不同时为零）时，它表示$R^n$中的一条直线，其向量形式是
$$x=at+b，（a \ne 0），t \in (-\infty,+\infty)，$$
　　其中$a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$，$b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$。
　　过已知两点$x'$，$x''$的直线方程是
$$x=(x''-x')t+x'，t \in (-\infty,+\infty)。$$
　　当$t \in [0,1]$时，上式表示联结$x'$，$x''$两点的直线段。$R^n$中的折线，由首尾衔接的直线段所组成。
　　由于在$R^n$中定义了距离、邻域、直线与折线等概念，可以把平面点集中有关内点、界点、聚点、开集、闭集、凸集、区域、直径等概念推广到$R^n$中来。并通过定义$R^n$中的收敛点列${P_k}$，导出相当于平面点列收敛原理的完备性定理。

定理　设${P_k} \subset R^n$，则${P_k}$为收敛点列的充要条件是：任给$\epsilon>0$，存在$K>0$，当$k>K$时，对一切正整数$q$都有
$$\rho(P_k,P_{k+q}) < \epsilon。$$