向量函数

castelu

　　这里我们采用集合来定义函数，它与以往的定义方式具有相同的含义。

定义　若$X \subset R^n$，$Y \in R^m$，$f$是$X \times Y$的一个子集，对每一个$x \in X$，都有惟一的一个$y \in Y$，使$(x,y) \in f$，则称$f$为$X$到$Y$的向量函数（也简称函数或称映射），记作
$$f:X \to Y，$$
$$x \mapsto y，$$
　　或简单地记作$f: X \to Y$，其中$X$称为函数$f$的定义域。

　　易见，当$n=2$（或$n=3$），$m=1$时，由定义所确定的函数就是我们原来所熟悉的二元（或三元）实值函数。
　　在映射的意义下，$x \in x$在$f$下的象为$y=f(x) \in Y$，$X$在$f$下的象集为$f(X)=\left\{f(x)|x \in X \right\} \subset Y$，$x$称为$f(x)$的原象。
　　设$f:X \to Y$，若对任何$x'$，$x'' \in X$，只要$x' \ne x''$就有$f(x') \ne f(x'')$，则称$f$为$X$到$Y$的一一映射（或称为单射）。
　　一般地，当$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_m$为$f$的分量函数（或坐标函数）时，可写作
$$f(x)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1(x)\\ \vdots\\ f_m(x) \end{array}} \right)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,\cdots,x_n) \end{array}} \right)或f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1\\ \vdots\\ f_m \end{array}} \right) 。$$
　　于是，两个相同维数的向量函数$f$与$g$在相同的定义域上的和（差）函数为
$$f \pm g= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1 \pm g_1\\ \vdots\\ f_m \pm g_m \end{array}} \right)。$$
一个实值函数$\alpha$与一个向量函数$f$在相同的定义域上的乘积函数是
$$\alpha f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha f_1\\ \vdots\\ \alpha f_m \end{array}} \right)。$$
　　两个向量函数$f$与$h$的复合函数是
$$h \circ f: X \to Y \to Z，（x \subset R^n，f(X) \subset Y \subset R^m，Z \subset R^r）$$
　　或
$$h \circ f= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} h_1 \circ f\\ \vdots\\ h_r \circ f \end{array}} \right) ，$$
　　其中$(h_i \circ f)(x)=h_i(f_1(x),\cdots,f_m(x))$，$x \in X$。