高维Lagrange乘数法

castelu

　　对$R^n$中$n$个向量$v_1$，$v_2$，$\cdots$，$v_n$，定义外积
$$(v_1,v_2,\cdots,v_n) \to v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n \in R，$$
　　要求它具有下列性质：
（i）乘法线性：按每个变量都是线性的。
（ii）反交错性：若对某对$i$，$j$使$v_i=v_i$（$i \ne j$），则$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n=0$；若在外积中交换两个向量的位置，则外积改变符号：
$$v_i \wedge \cdots \wedge v_i \wedge \cdots \wedge v_j \wedge \cdots \wedge v_n$$
$$=-v_i \wedge \cdots \wedge v_j \wedge \cdots \wedge v_i \wedge \cdots \wedge v_n。$$
（iii）规范性：$e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n=1$，其中$\mathop {\left\{e_i \right\}}\limits_{i=1}^n$是$R^n$中标准基。

　　若$v_i=a_{i1}e_1+\cdots+a_{in}e_n$，我们将证明$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n$即为矩阵$(a_{ij})$的行列式。
　　事实上，
$$v_1 \wedge \cdots \wedge v_n=(a_{11}e_1+a_{12}e_2+\cdots+a_{1n}e_n) \wedge \cdots \wedge (a_{n1}e_1+a_{n2}e_2+\cdots+a_{nn}e_n)$$
$$=\sum\limits_r a_1,_{\tau(1)}e_{\tau(1)} \wedge \cdots \wedge a_n,_{\tau(n)}e_{\tau(n)}$$
$$=\sum\limits_r a_1,_{\tau(1)} \cdots a_n,_{\tau(n)}e_{\tau_1} \wedge \cdots \wedge e_{\tau(n)}，$$
　　其中$\tau$是（$1,2,\cdots,n$）的置换，求和是在所有置换上进行的。由于反交错性
$$e_{r(1)} \wedge e_{r(2)} \wedge \cdots \wedge e_{r(n)}=\epsilon(\tau) e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n=\epsilon(\tau)，$$
　　当$\tau$为偶置换时$\epsilon(\tau)=1$，当$\tau$为奇置换时$\epsilon(\tau)=-1$，于是有
$$v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n=\det (a_{ij})。$$