二维Jacobi行列式符号的几何意义

castelu

　　设$\Phi$：$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$是$xy$平面区域$D \subset R^2$到$uv$平面区域$D'$内的映射，$P_0(x_0,y_0) \in D$，假定$u(x,y)$，$v(x,y)$具有关于$x$，$y$连续偏导数，
$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}|_{P_0} \ne 0。$$
　　若$xy$平面上过点$P_0$的曲线可用参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$表示，$f(t_0)=x_0$，$g(t_0)=y_0$，此曲线在点$P_0$的斜率为$m=\frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}$。
　　上述曲线在$uv$平面上的象曲线为
$$\xi=u(f(t),g(t))，\eta=v(f(t),g(t))。$$
　　容易推出象曲线在点$\Phi(P_0)$的斜率为
$$\mu=\frac{\eta'(t_0)}{\xi'(t_0)}=\frac{c+dm}{a+bm}，$$
　　其中
$$a=u_x(x_0,y_0)，b=u_y(x_0,y_0)，$$
$$c=v_x(x_0,y_0)，d=v_y(x_0,y_0)。$$
　　由于
$$\frac{d \mu}{dm}=\frac{ad-bc}{(a+bm)^2}，$$
　　因此当$ad-bc>0$时，$\mu$是$m$的增函数；当$ad-bc<0$时，$\mu$是$m$的减函数。
　　斜率的增加对应曲线切线的倾斜角的增加，也就是相应切线方向逆时针转动。$\frac{d \mu}{dm}>0$时，此映射保持逆时针旋转方向；而$\frac{d \mu}{dm}<0$时，则相反。由于$ad-bc$是点$P_0$处Jacobi行列式$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}|_{P_0}$，因此映射$\Phi$在点$P_0$保持还是改变旋转方向，可用Jacobi行列式在该点的值是正的还是负的来判别。