数域

castelu

定义　设$P$是由一些复数组成的集合，其中包括$0$与$1$。如果$P$中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是$P$中的数，那么$P$就称为一个数域。

　　显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个数域我们分别用字母$Q$，$R$，$C$来代表。全体整数组成的集合就不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数。
　　如果数的集合$P$中任意两个数作某一运算的结果都仍在$P$中，我们就说数集$P$对这个运算是封闭的。因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含$0$，$1$在内的数集$P$对于加法、减法、乘法与除法（除数不为$0$）是封闭的，那么$P$就称为一个数域。
　　最后，我们指出数域的一个重要性质。所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。事实上，设$P$是一个数域，由定义，$P$含有$1$。根据$P$对于加法的封闭性，$1+1=2$，$2+1=3$，$\cdots$，$n+1=n+1$，$\cdots$全在$P$中，换句话说，$P$包含全体自然数。又因$0$在$P$中，再由$P$对减法的封闭性，$0-n=-n$也在$P$中，因而$P$包含全体整数。任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由$P$对除法的封闭性即得上述结论。