行列式的计算

castelu

定义1　由$sn$个数排成的$s$行（横的）$n$列（纵的）的表
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) $$
　　称为一个$s \times n$矩阵。

　　数$a_{ij}$，$i=1,2,\cdots,s$，$j=1,2,\cdots,n$，称为矩阵的元素，$i$称为元素$a_{ij}$的行指标，$j$称为列指标。当一个矩阵的元素全是某一数域$P$中的数时，它就称为这一数域$P$上的矩阵。
　　$n \times n$矩阵也称$n$级方阵。一个$n$级方阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) $$
　　定义一个$n$级行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| ，$$
　　称为矩阵$A$的行列式，记作$|A|$。
　　下面来定义矩阵的初等行变换

定义2　所谓数域$P$上的矩阵的初等行变换是指下列三种变换：
1、以$P$中的一个非零的数乘矩阵的某一行；
2、把矩阵的某一行的$c$倍加到另一行，这里$c$是$P$中任意一个数；
3、互换矩阵中两行的位置。

　　阶梯形矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零，则它的下面的行也全为零。
　　可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。
　　一个$n$级行列式可看成是由一个$n$级方阵$A$决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响。每个方阵$A$总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵$J$。由行列式性质，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是
$$|A|=k|J|，k \ne 0。$$
　　显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此$|J|$是容易计算的。
　　不难算出，用这个方法计算一个$n$级的数字行列式只需要做$\frac{n^3+2n-3}{3}$次乘法和除法。特别当$n$比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了。同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算。

　　最后我们指出，对于矩阵我们同样地可以定义初等列变换，即
1、以数域$P$中一非零数乘矩阵的某一列；
2、把矩阵的某一列的$c$倍加到另一列，这里$c$是$P$中任意一个数；
3、互换矩阵中两列的位置。

　　为了计算行列式，我们也可以对矩阵进行初等列变换。有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些。
　　矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。