二次型的标准型

castelu

　　可以认为，二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
$$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2。$$

定理1　数域$P$上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式。
　　不难看出，二次型
$$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$$
　　的矩阵是对角矩阵
$$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2= (x_1,x_2,\cdots,x_n) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) 。$$

　　反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项。经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为：

定理2　在数域$P$上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

　　定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵$A$都可以找到一个可逆矩阵$C$使$C'AC$成对角矩阵。
　　二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$经过非退化线性替换所变成的平方和称为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的一个标准形。