线性空间

castelu

定义　设$V$是一个非空集合，$P$是一个数域。在集合$V$的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于$V$中任意两个元素$\alpha$与$\beta$，在$V$中都有唯一的一个元素$\gamma$与它们对应，称为$\alpha$与$\beta$的和，记为$\gamma=\alpha+\beta$。在数域$P$与集合$V$的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域$P$中任一数$k$与$V$中任一元素$\alpha$，在$V$中都有唯一的一个元素$\delta$与它们对应，称为$k$与$\alpha$的数量乘积，记为$\delta=k\alpha$。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么$V$称为数域$P$上的线性空间。
　　加法满足下面四条规则：
1、$\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
2、$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
3、在$V$中有一个元素$0$，对于$V$中任一元素$\alpha$都有
$$0+\alpha=\alpha$$
（具有这个性质的元素$0$称为$V$的零元素）；
4、对于$V$中每一个元素$\alpha$，都有$V$中的元素$\beta$，使得
$$\alpha+\beta=0$$
（$\beta$称为$\alpha$的负元素）。
　　数量乘法满足下面两条规则：
5、$1\alpha=\alpha$；
6、$k(l\alpha)=(kl)\alpha$。
　　数量乘法与加法满足下面两条规则：
7、$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$；
8、$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$。

　　在以上规则中，$k$，$l$表示数域$P$中的任意数；$\alpha$，$\beta$，$\gamma$等表示集合$V$中任意元素。
　　由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间。分量属于数域$P$的全体$n$元数组构成数域$P$上的一个线性空间，这个线性空间我们用$P^n$来表示。
　　线性空间的元素也称为向量。当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多。线性空间有时也称为向量空间。以下我们经常是用黑体的小写希腊字母$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\cdots$代表线性空间$V$中的元素，用小写的拉丁字母$a$，$b$，$c$，$\cdots$代表数域$P$中的数。
　　线性空间的一些简单性质：
1、零元素是唯一的。
2、负元素是唯一的。
　　向量$\alpha$的负元素记为$-\alpha$。
　　利用负元素，我们定义减法如下：
$$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)。$$
3、$0\alpha=0$；$k0=0$；$(-1)\alpha=-\alpha$。
4、如果$k\alpha=0$，那么$k=0$或者$\alpha=0$。