维数·基与坐标

castelu

定义1　设$V$是数域$P$上的一个线性空间，$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$（$r \ge 1$）是$V$中一组向量，$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_r$是数域$P$中的数，那么向量
$$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$$
　　称为向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$的一个线性组合。有时我们也说向量$\alpha$可以用向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性表出。

定义2　设
$$\alpha_1，\alpha_2，\cdots，\alpha_r；$$
$$\beta_1，\beta_2，\cdots，\beta_s$$
　　是$V$中两个向量组。如果$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$中每个向量都可以用向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出，那么称向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$可以用向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出。如果$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$可以互相线性表出，那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$称为等价的。

定义3　线性空间$V$中向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$（$r \ge 1$）称为线性相关，如果在数域$P$中有$r$个不全为零的数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_r$，使
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0。$$
　　如果向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$不线性相关，就称为线性无关。换句话说，向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$称为线性无关，如果
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$$
　　只有在$k_1=k_2=\cdots=k_r=0$时才成立。

　　以上定义逐字逐句地重复了$n$元数组相应概念的定义。我们不再重复这些论证，只是把几个常用的结论叙述如下：
1、单个向量$\alpha$是线性相关的充分必要条件是$\alpha=0$。两个以上的向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。
2、如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性无关，而且可以被$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出，那么$r \le s$。
　　由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量。
3、如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性无关，但向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$，$\beta$线性相关，那么$\beta$可以被$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性表出，而且表法是唯一的。

　　我们知道，对于几何空间中的向量，线性无关的向量最多是$3$个，而任意$4$个向量都是线性相关的。对于$n$元数组所组成的向量空间，有$n$个线性无关的向量，而任意$n+1$个向量都是线性相关的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入

定义4　如果在线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么$V$就称为$n$维的；如果在$V$中可以找到任意多个线性无关的向量，那么$V$就称为无限维的。

　　按照这个定义，不难看出，几何空间中向量所成的线性空间是三维的；$n$元数组所成的空间是$n$维的；由所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的，因为对于任意的$n$，都有$n$个线性无关的向量
$$1，x，\cdots，x^{n-1}。$$
　　无限维空间是一个专门研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别。但是上面提到的线性表出，线性相关，线性无关等性质，只要不涉及维数和基，就对无限维空间成立。
　　在解析几何中我们看到，为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤。对于有限维线性空间，坐标同样是一个有力的工具。

定义5　在$n$维线性空间$V$中，$n$个线性无关的向量$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$称为$V$的一组基。设$\alpha$是$V$中任一向量，于是$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\alpha$线性相关，因此$\alpha$可以被基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$线性表出：
$$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\cdots+a_n\epsilon_n，$$
　　其中系数$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$是被向量$\alpha$和基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$唯一确定的，这组数就称为$\alpha$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的坐标，记为$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。

　　由以上定义看来，在给出空间$V$的一组基之前，必须先确定$V$的维数。实际上，这两个问题常常是同时解决的。

定理　如果在线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$，且$V$中任一向量都可以用它们线性表出，那么$V$是$n$维的，而$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$就是$V$的一组基。