线性变换的运算

castelu

　　我们来介绍线性变换的运算及其简单性质。
　　首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法。设$\mathcal A$，$\mathcal B$是线性空间$V$的两个线性变换，定义它们的乘积$\mathcal {AB}$为
$$(\mathcal {AB})(\alpha)=\mathcal A(\mathcal B(\alpha))，（\alpha \in V）。$$
　　线性变换的乘积也是线性变换。
　　$\mathcal {AB}$是线性的。
　　既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换的乘法当然也适合结合律，即
$$(\mathcal {AB})\mathcal C=\mathcal A(\mathcal {BC})。$$
但线性变换的乘法一般是不可交换的。
　　对于乘法，单位变换$\mathcal \epsilon$有特殊的地位。对于任意线性变换$\mathcal A$都有
$$\mathcal \epsilon \mathcal A=\mathcal A\mathcal \epsilon=\mathcal A。$$
　　其次，对于线性变换还可以定义加法。设$\mathcal A$，$\mathcal B$是线性空间$V$的两个线性变换，定义它们的和$\mathcal A+\mathcal B$为
$$(\mathcal A+\mathcal B)(\alpha)=\mathcal A(\alpha)+\mathcal B(\alpha)（\alpha \in V）。$$
线性变换的和还是线性变换。
　　线性变换的加法适合结合律与交换律，即
$$\mathcal A+(\mathcal B+\mathcal C)=(\mathcal A+\mathcal B)+\mathcal C，$$
$$\mathcal A+\mathcal B=\mathcal B+\mathcal A。$$
　　对于加法，零变换$\mathcal O$有着特殊的地位。它与所有线性变换$\mathcal A$的和仍等于$\mathcal A$：
$$\mathcal A+\mathcal O=\mathcal A。$$
　　对于每个线性变换$\mathcal A$，我们可以定义它的负变换$(-\mathcal A)$：
$$(-\mathcal A)(\alpha)=-\mathcal A(\alpha)（\alpha \in V）。$$
　　容易看出，负变换$(-\mathcal A)$也是线性的，且
$$\mathcal A+(-\mathcal A)=\mathcal O。$$
　　线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
$$\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)=\mathcal {AB}+\mathcal {AC}，$$
$$(\mathcal B+\mathcal C)\mathcal A=\mathcal {BA}+\mathcal {CA}。$$
　　数域$P$中每个数$k$都决定一个数乘变换$\mathcal K$。利用线性变换的乘法，可以定义数域$P$中的数与线性变换的数量乘法为
$$k\mathcal A=\mathcal K\mathcal A，$$
　　即
$$(k\mathcal A)(\alpha)=\mathcal K(\mathcal A(\alpha))=\mathcal K\mathcal A(\alpha)，$$
　　当然，$k\mathcal A$还是线性变换。容易看出，线性变换的数量乘法适合以下的规律：
$$(kl)\mathcal A=k(l\mathcal A)，$$
$$(k+l)\mathcal A=k\mathcal A+l\mathcal A，$$
$$k(\mathcal A+\mathcal B)=k\mathcal A+k\mathcal B，$$
$$1\mathcal A=\mathcal A。$$
　　对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算。由加法与数量乘法的性质可知，线性空间$V$上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域$P$上一个线性空间。
　　$V$的变换$\mathcal A$称为可逆的，如果有$V$的变换$\mathcal B$存在，使
$$\mathcal {AB}=\mathcal {BA}=\mathcal \epsilon。$$
　　这时，变换$\mathcal B$称为$\mathcal A$的逆变换，记为$\mathcal A^{-1}$。
　　最后，我们引进线性变换的多项式的概念。
　　既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换$\mathcal A$重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘积的结合方法无关。因此当$n$个（$n$是正整数）线性变换$\mathcal A$相乘时，我们就可以用
$$\overbrace {\mathcal {AA} \cdots \mathcal A}^{n个}$$
　　来表示，称为$\mathcal A$的$n$次幂，简单地记作$\mathcal A^n$。此外，作为定义，令
$$\mathcal A^0=\mathcal \epsilon。$$
　　根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：
$$\mathcal A^{m+n}=\mathcal A^m\mathcal A^n，(\mathcal A^m)^n=\mathcal A^{mn}（m，n \ge 0）。$$
　　当线性变换$\mathcal A$可逆时，定义$\mathcal A$的负整数幂为
$$\mathcal A^{-n}=(\mathcal A^{-1})^n（n是正整数）。$$
　　这时，指数乘法可以推广到负整数幂的情形。
　　值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
$$(\mathcal {AB})^n \ne \mathcal A^n\mathcal B^n。$$
　　设
$$f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0$$
　　是$P[x]$中一多项式，$\mathcal A$是$V$的一线性变换，我们定义
$$f(\mathcal A)=a_m\mathcal A^m+a_{m-1}\mathcal A^{m-1}+\cdots+a_0\epsilon。$$
　　显然，$f(\mathcal A)$是一线性变换，它称为线性变换$\mathcal A$的多项式。
　　不难验证，如果在$P[x]$中
$$h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，$$
　　那么
$$h(\mathcal A)=f(\mathcal A)+g(\mathcal A)，p(\mathcal A)=f(\mathcal A)g(\mathcal A)。$$
　　特别地，
$$f(\mathcal A)g(\mathcal A)=g(\mathcal A)f(\mathcal A)。$$
　　即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
　　线性变换之间的一些关系可以通过线性变换的运算表示出来。