特征值与特征向量

castelu

　　我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。

定义1　设$\mathcal A$是数域$P$上线性空间$V$的一个线性变换，如果对于数域$P$中一数$\lambda_0$，存在一个非零向量$\xi$，使得
$$\mathcal A \xi=\lambda_0 \xi。$$
　　那么$\lambda_0$称为$\mathcal A$的一个特征值，而$\xi$称为$\mathcal A$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量。

　　从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（$\lambda_0>0$），或者方向相反（$\lambda_0<0$），至于$\lambda_0=0$时，特征向量就被线性变换变成$0$。
　　如果$\xi$是线性变换$\mathcal A$的属于特征值$\lambda_0$的特征向量，那么$\xi$的任何一个非零倍数$k \xi$也是$\mathcal A$的属于$\lambda_0$的特征向量。因为从
$$\mathcal A \xi=\lambda_0 \xi$$
　　可以推出
$$\mathcal A(k \xi)=\lambda_0(k \xi)。$$
　　这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值。

定义2　设$A$是数域$P$上一$n$级矩阵，$\lambda$是一个文字。矩阵$\lambda E-A$的行列式
$$|\lambda E-A|= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{n n} \end{array}} \right| $$
　　称为$A$的特征多项式，这是数域$P$上的一个$n$次多项式。

　　确定一个线性变换$\mathcal A$的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1、在线性空间$V$中取一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，写出$\mathcal A$在这组基下的矩阵$A$；
2、求出$A$的特征多项式$|\lambda E-A|$在数域$P$中全部的根，它们也就是线性变换$\mathcal A$的全部特征值；
3、把所求得的特征值逐个地代入方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} (\lambda_0-a_{11})x_1-a_{12}x_2-\cdots-a_{1n}x_n=0\\ -a_{21}x_1+(\lambda_0-a_{22})x_2-\cdots-a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ -a_{n1}-a_{n2}x_2-\cdots+(\lambda_0-a_{n n})x_n=0 \end{array} \right. ，$$

　　对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
　　矩阵$A$的特征多项式的根有时也称为$A$的特征值，而相应的线性方程组的解也就称为$A$的属于这个特征值的特征向量。
　　容易看出，对于线性变换$\mathcal A$的任一个特征值$\lambda_0$，全部适合条件
$$\mathcal A \alpha=\lambda_0 \alpha$$
　　的向量$\alpha$所成的集合，也就是$\mathcal A$的属于$\lambda_0$的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是$V$的一个子空间，称为$\mathcal A$的一个特征子空间，记为$V_{\lambda_0}$。显然，$V_{\lambda_0}$的维数就是属于$\lambda_0$的线性无关的特征向量的最大个数。用集合记号可写为$V_{\lambda_0}=\left\{\alpha|A \alpha=\lambda_0 \alpha,\alpha \in V \right\}$。
　　在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的。下面先来看一下它的系数。在
$$|\lambda E-A|= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{n n} \end{array}} \right| $$
　　的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
$$(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22}) \cdots (\lambda-a_{n n})。$$
　　展开式中的其余各项，至多包含$n-2$个主对角线上的元素，它对$\lambda$的次数最多是$n-2$。因此特征多项式中含$\lambda$的$n$次与$n-1$次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
$$\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})\lambda^{n-1}。$$
　　在特征多项式中令$\lambda=0$，即得常数项$|-A|=(-1)^n|A|$。
　　因此，如果只写出特征多项式的前两项与常数项，就有
$$|\lambda E-A|=\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|。$$
　　如$\lambda E-A$在数域$P$上能分解为一次因式的乘积，由根与系数的关系可知，$A$的全体特征值的和为$a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$（称为$A$的迹，记为${\rm Tr}(A)$）。而$A$的全体特征值的积为$|A|$。
　　特征值自然是被线性变换所决定的。但是在有限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根。随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的。但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵我们有

定理1　相似的矩阵有相同的特征多项式。

　　定理1正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的。因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了。
　　既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的。譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式。因此，我们就可以说线性变换的行列式了。
　　应该指出，定理1的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。
　　最后，我们指出特征多项式的一个重要性质。

定理2（Hamilton-Caylay定理）　设$A$是数域$P$上一个$n \times n$矩阵，$f(\lambda)=|\lambda E-A|$是$A$的特征多项式，则
$$f(A)=A^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n})A^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|E=O。$$

　　因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的，所以由这定理得

推论　设$\mathcal A$是有限维空间$V$的线性变换，$f(\lambda)$是$\mathcal A$的特征多项式，那么$f(\mathcal A)=\mathcal O$。