λ-矩阵

castelu

　　设$P$是一个数域，$\lambda$是一个文字，作多项式环$P[\lambda]$。一个矩阵，如果它的元素是$\lambda$的多项式，即$P[\lambda]$的元素，就称为$\lambda$-矩阵。
　　因为数域$P$中的数也是$P[\lambda]$的元素，所以在$\lambda$-矩阵中也包括以数为元素的矩阵。为了与$\lambda$-矩阵相区别，有时我们把以数域$P$中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。以下用$A(\lambda)$，$B(\lambda)$，$\cdots$等表示$\lambda$-矩阵。
　　我们知道，$P[\lambda]$中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律。而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此，我们可以同样定义$\lambda$-矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律。
　　行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个$n \times n$的$\lambda$-矩阵的行列式。一般地，$\lambda$-矩阵的行列式是$\lambda$的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质。
　　既然有行列式，也就有$\lambda$-矩阵的子式的概念。利用这个概念，我们有

定义1　如果$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$中有一个$r$（$r \ge 1$）级子式不为零，而所有$r+1$级子式（如果有的话）全为零，则称$A(\lambda)$的秩为$r$。零矩阵的秩规定为零。

　　我们还有：

定义2　一个$n \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$称为可逆的，如果有一个$n \times n$的$\lambda$-矩阵$B(\lambda)$使
$$A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E，$$
　　这里$E$是$n$级单位矩阵。适合上式的矩阵$B(\lambda)$（它是唯一的）称为$A(\lambda)$的逆矩阵，记为$A^{-1}(\lambda)$。

　　关于$\lambda$-矩阵可逆的条件有：

定理　一个$n \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$是可逆的充分必要条件为行列式$|A(\lambda)|$是一个非零的数。