正交变换

castelu

　　在解析几何中，我们有正交变换的概念。正交变换就是保持点之间的距离不变的变换。在一般的欧氏几何中，我们有

定义　欧氏空间$V$的线性变换$\mathcal A$称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的$\alpha$，$\beta \in V$，都有
$$(\mathcal A\alpha,\mathcal A\beta)=(\alpha,\beta)。$$
　　正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画。

定理　设$\mathcal A$是$n$维欧氏空间$V$的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）$\mathcal A$是正交变换；
2）$\mathcal A$保持向量的长度不变，即对于$\alpha \in V$，$|\mathcal A\alpha|=|\alpha|$；
3）如果$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是标准正交基，那么$\mathcal A\epsilon_1$，$\mathcal A\epsilon_2$，$\cdots$，$\mathcal A\epsilon_n$也是标准正交基；
4）$\mathcal A$在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

　　因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的。由定义不难看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到它自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换。在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
　　如果$A$是正交矩阵，那么由
$$A A'=E$$
　　可知
$|A|^2=1$或者$|A|= \pm 1$。
　　因此，正交变换的行列式等于$+1$或者$-1$。行列式等于$+1$的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于$-1$的正交变换称为第二类的。
　　例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，定义线性变换$\mathcal A$为：
$$\mathcal A\epsilon_1=-\epsilon_1，\mathcal A\epsilon_i=\epsilon_i，i=2,\cdots,n。$$
　　那么，$\mathcal A$就是一个第二类的正交变换。从几何上看，这是一个镜面反射。