Euclid空间的子空间

castelu

　　我们来讨论欧氏空间中子空间的正交关系。

定义1　设$V_1$，$V_2$是欧氏空间$V$中两个子空间。如果对于任意的$\alpha \in V_1$，$\beta \in V_2$，恒有
$$(\alpha,\beta)=0。$$
　　则称$V_1$，$V_2$为正交的，记为$V_1 \bot V_2$。一个向量$\alpha$，如果对于任意的$\beta \in V_1$，恒有
$$(\alpha,\beta)=0。$$
　　则称$\alpha$与子空间$V_1$正交，记为$\alpha \bot V_1$。

　　因为只有零向量与它自身正交，所以由$V_1 \bot V_2$可知$V_1 \cap V_2={0}$；由$\alpha \bot V_1$，$\alpha \in V_1$可知$\alpha=0$。
　　关于正交的子空间，我们有：

定理1　如果子空间$V_1$，$V_2$，$\cdots$，$V_s$两两正交，那么和$V_1+V_2+\cdots+V_s$是直和。

定义2　子空间$V_2$称为子空间$V_1$的一个正交补，如果$V_1 \bot V_2$，并且$V_1+V_2=V$。

　　显然，如果$V_2$是$V_1$的正交补，那么$V_1$也是$V_2$的正交补。

定理2　$n$维欧氏空间$V$的每一个子空间$V_1$都有唯一的正交补。

　　$V_1$的正交补记为$V_1^{\bot}$。由定义可知
$$维(V_1)+维(V_1^{\bot})=n。$$

推论　$V_1^{\bot}$恰由所有与$V_1$正交的向量组成。

　　由分解式
$$V=V_1 \oplus V_1^{\bot}$$
　　可知，$V$中任一向量$\alpha$都可以唯一地分解成
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2，$$
　　其中$\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_1^{\bot}$。我们称$\alpha_1$为向量$\alpha$在子空间$V_1$上的内射影。