辛空间

castelu

　　辛空间有下面两点性质：
1、辛空间$(V,f)$中一定能找到一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$满足
$$f(\epsilon_i,\epsilon_{-1})=1，1 \le i \le n，$$
$$f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0，-n \le i，j \le n，i+j \ne 0。$$
　　这样的基称为$(V,f)$的辛正交基。还可看出辛空间一定是偶数维的。
2、任一$2n$级非退化反对称矩阵$K$可把一个数域$P$上$2n$维空间$V$化成一个辛空间，且使$K$为$V$的某基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$下的度量矩阵。又此辛空间在某辛正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$下的度量矩阵为
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
O&E\\
-E&O
\end{array}} \right)_{2n \times 2n}，$$
　　故$K$合同于$J$。即任一$2n$级非退化反对称矩阵皆合同于$J$。

　　两个辛空间$(V_1,f_1)$及$(V_2,f_2)$，若有$V_1$到$V_2$的作为线性空间的同构$\mathcal K$，它满足
$$f_1(u,v)=f_2(\mathcal Ku,\mathcal Kv)，$$
则称$\mathcal K$是$(V_1,f_1)$到$(V_2,f_2)$的辛同构。
　　$(V_1,f_1)$到$(V_2,f_2)$的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把$(V_1,f_1)$的一组辛正交基变成$(V_2,f_2)$的辛正交基。
　　两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数。
　　辛空间$(V,f)$到自身的，辛同构称为$(V,f)$上的辛变换。取定$(V,f)$的一组辛正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$，$V$上的一个线性变换$\mathcal K$，在该基下的矩阵为$K$，
$$K=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B\\
C&D
\end{array}} \right)，$$
　　其中$A$，$B$，$C$，$D$皆为$n \times n$方阵。则$\mathcal K$是辛变换当且仅当$K'JK=J$，亦即当且仅当下列条件成立：
$$A'C=C'A，B'D=D'B，A'D-C'B=E。$$
　　且易证，$|K| \ne 0$，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换。
　　设$(V,f)$是辛空间，$u$，$v \in V$，满足$f(u,v)=0$，则称$u$，$v$为辛正交的。
　　$W$是$V$的子空间，令
$$W^{\bot}=\left\{u \in V|f(u,w)=0,\forall w \in W \right\}。$$
$W^{\bot}$显然是$V$的子空间，称为$W$的辛正交补空间。

定理1　$(V,f)$是辛空间，$W$是$V$的子空间，则
$$\dim W^{\bot}=\dim V-\dim W。$$

定义1　$(V,f)$为辛空间，$W$为$V$的子空间。若$W \subset W^{\bot}$，则称$W$为$(V,f)$的迷向子空间；若$W = W^{\bot}$，即$W$是极大的（按包含关系）迷向子空间，也称它为拉格朗日子空间；若$W \cap W^{\bot}=\left\{0 \right\}$，则称$W$为$(V,f)$的辛子空间。

　　例如，设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$是$(V,f)$的辛正交基，则$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)$是迷向子空间。$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间。$L(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k,\epsilon_{-1},\epsilon_{-2},\cdots,\epsilon_{-k})$是辛子空间。
　　对辛空间$(V,f)$的子空间$U$，$W$。通过验证，并利用定理1，可得下列性质：
（1）$(W^{\bot})^{\bot}=W$，
（2）$U \subset W \Rightarrow W^{\bot} \subset U^{\bot}$，
（3）若$U$是辛子空间，则$V=U \oplus U^{\bot}$，
（4）若$U$是迷向子空间，则$\dim U \le \frac{1}{2} \dim V$，
（5）若$U$是拉格朗日子空间，则$\dim U = \frac{1}{2} \dim V$。

定理2　设$L$是辛空间$(V,f)$的拉格朗日子空间，$(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$是$L$的基，则它可扩充为$(V,f)$的辛正交基。

推论　设$W$是$(V,f)$的迷向子空间，$\left\{\epsilon_1,\cdots,\epsilon_k \right\}$是$W$的基，则它可扩充成$(V,f)$的辛正交基。

　　对于辛正交基$U$，$f|U$也是非退化的。同样$f|U^{\bot}$也非退化。由定理1还有$V=U \oplus U^{\bot}$。

定理3　辛空间$(V,f)$的辛子空间$(U,f|U)$的一组辛正交基可扩充成$(V,f)$的辛正交基。

定理4　令$(V,f)$为辛空间，$U$和$W$是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有$(V,f)$的辛变换把$U$变成$W$。

　　辛空间$(V,f)$的两个子空间$U$及$V$之间的（线性）同构$\mathcal K$若满足
$$f(u,v)=f(\mathcal Ku,\mathcal Kv)，\forall u \in W，v \in V$$
　　则称$\mathcal K$为$V$与$W$间的等距。下面的命题以定理4为特例

Witt定理　辛空间$(V,f)$的两个子空间$V$，$W$之间若有等距，则此等距可扩充成$(V,f)$的一个辛变换。

　　下面是辛变换的特征值的一些性质。
　　$\mathcal K$是辛空间$(V,f)$上的辛变换，$\mathcal K$的行列式为$1$。
　　取定$(V,f)$的辛正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，$\epsilon_{-1}$，$\epsilon_{-2}$，$\cdots$，$\epsilon_{-n}$。　　设$\mathcal K$在该基下矩阵为$K$，这时有$K'JK=J$。

定理5　设$\mathcal K$是$2n$维辛空间中的辛变换，$K$是$\mathcal K$在某辛正交基下矩阵。则它的特征多项式$f(\lambda)=|\lambda I-K|$满足$f(\lambda)=\lambda^{2n}f(\frac{1}{\lambda})$。若设
$$f(\lambda)=a_0\lambda^{2n}+a_1\lambda^{2n-1}+\cdots+a_{2n-1}\lambda+a_{2n}，$$
　　则$a_i=a_{2n-i}$，$i=0,1,\cdots,n$。

　　由定理5可知，辛变换$\mathcal K$的特征多项式$f(\lambda)$的（复）根$\lambda$与$\frac{1}{\lambda}$是同时出现的，且具有相同的重数。它在$P$中的特征值也如此。又$|K|$等于$f(\lambda)$的所有（复）根的积，而$|K|=1$，故特征值$-1$的重数为偶数。又不等于$\pm 1$的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为$+1$的重数也为偶数。

定理6　设$\lambda_i$，$\lambda_j$是数域$P$上辛空间$(V,f)$上辛变换$\mathcal K$在$P$中的特征值，且$\lambda_i\lambda_j \ne 1$。设$V_{\lambda_i}$，$V_{\lambda_j}$是$V$中对应于特征值$\lambda_i$及$\lambda_j$的特征子空间。则$\forall u \in V_{\lambda_i}$，$v \in V_{\lambda_j}$。有$f(u,v)=0$。即$V_{\lambda_i}$与$V_{\lambda_j}$是辛正交的。特别地，当$\lambda_i \ne \pm 1$时$V_{\lambda_i}$是迷向子空间。