向量的外积

castelu

　　在力学中，我们遇见过这样的问题，一个力$f$作用在棒的一端$P$，使棒绕其支点$O$转动，这就产生了力矩$M$，其大小为
$$|M|=|f||\vec {OP}|\sin \angle (f,\vec {OP})，$$
其方向为：让右手四指从$\vec {OP}$弯向$f$（转角小于$\pi$），则拇指指向为$M$的方向。类似于从$\vec {OP}$和$f$求力矩$M$这样的向量运算，我们引进向量的外积运算。

定义1　两个向量$a$与$b$的外积仍是一个向量，记作$a \times b$，它的长度规定为
$$|a \times b|=|a||b|\sin \angle (a,b)，$$
它的方向规定为：与$a$，$b$均垂直，并且使$\left\{a,b,a \times b \right\}$成右手系的指向。

　　如果$a$，$b$中有一个为零向量，则规定$a \times b=0$。
　　两向量外积模的几何意义：$|a \times b|=$以$a$，$b$为邻边的平行四边形的面积。
　　外积满足以下运算规律：

定理　对于任意向量$a$，$b$，$c$和任意实数$\lambda$，有
（1）$a \times b=-b \times a$，（反交换律）
（2）$(\lambda a) \times b=\lambda (a \times b)$，
（3）$a \times (b+c)=a \times b + a \times c$，（左分配律）
$(a+b) \times c =a \times c + b \times c$。（右分配律）

定义2　设$a =\vec {AB}$，$b$所在直线为$l$，由$A$，$B$分别向$l$引垂线，其垂足分别为$A'$，$B'$，则向量$\vec {A'B'}$称为$a$在$b$上的射影。如果$\vec {A'B'}=xb^0$，那么实数$x$称为$a$在方向$b$上的分量，记为$\Pi_b(a)$。

　　容易得出
$$\Pi_ba=|a|\cos \angle (a,b)，$$
$$\Pi_b(a+c)=\Pi_ba+\Pi_bc。$$
　　另外对任意实数$\lambda$还有
$$\Pi_b(\lambda a)=\lambda \Pi_ba。$$
　　由向量的内积的定义和
$$\Pi_ba=|a|\cos \angle (a,b)$$
　　得，当$a \ne 0$，$b \ne 0$时，有
$$a \cdot b=|b|\Pi_b(a)=|a|\Pi_a(b)。$$
　　类似地，以向量$a$的始点在平面上的投影作为始点，以$a$的终点在平面上的投影为终点的向量$a'$称为向量$a$在此平面上的投影。显然，相等的向量有相等的投影，向量和的投影等于向量投影的和。
　　设有两个向量$a$和$b$，用$a'$表示向量$a$在与向量$b$垂直的平面上的投影，这时有
$$a \times b=a' \times b（或b \times a=b' \times a），$$
　　空间中取一个仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，设向量$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，则
$$a \times b=(\sum\limits_{i=1}^3 a_ie_i) \times (\sum\limits_{i=1}^3 b_je_j)$$
$$=(a_1b_2-a_2b_1)e_1 \times e_2+(a_2b_3-a_3b_2)e_2 \times e_3+(a_3b_1-a_1b_3)e_3 \times e_1$$
$$=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}} \right|e_1 \times e_2+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}} \right|e_2 \times e_3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_3&a_1\\
b_3&b_1
\end{array}} \right|e_3 \times e_1，$$
　　由此可见，只要知道坐标向量之间的外积，就可求出$a \times b$。
　　如果$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$是右手直角标架，那么有
$$e_1 \times e_2=e_3，e_2 \times e_3=e_1，e_3 \times e_1=e_2，$$
　　于是
$$a \times b=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}} \right|e_1+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_3&a_1\\
b_3&b_1
\end{array}} \right|e_2+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}} \right|e_3$$
$$=\left(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_3&a_1\\
b_3&b_1
\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}} \right| \right)。$$
　　作为一种记忆方式，上式可以写成
$$a \times b=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
e_1&e_2&e_3\\
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3
\end{array}} \right|，$$
　　此行列式按第一行展开后就可得上式。
　　对任意向量$a$，$b$，$c$，有
$$a \times (b \times c)=(a \cdot c)\times b-(a \cdot b)\times c。$$
　　上式称为二重外积公式。