不变量

castelu

　　在直角坐标系下二次曲面（线）经过直角坐标变换后并没有改变其几何性质。从代数的角度看，经过直角坐标变换后，其方程的形式已可能变得面目全非，但决定曲面（线）几何特征的内蕴性一定不会改变，这就是曲面（曲线）的不变量。

定义　由曲面（曲线）方程的系数给出的函数，如果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变，就称这个函数是该曲面（曲线）的一个正交不变量，简称不变量。

　　设二次曲面的方程为
$$F(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz$$
$$+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$$
　　或
$$F(x,y,z)=(\alpha^T,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\overline A&\delta\\
\delta^T&a_{44}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha\\
1
\end{array}} \right)=0，$$
　　记
$$I_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}，$$
$$I_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{12}&a_{22}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}\\
a_{13}&a_{33}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}\\
a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|，$$
$$I_3=\det \overline A，$$
$$I_4=\det A。$$

定理1　$I_1$，$I_2$，$I_3$，$I_4$是二次曲面的不变量。

　　我们称方程
$$\det (\overline A-\lambda E)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0$$
　　为二次曲面的特征方程，它的根称为二次曲面的特征根。由定理知道特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都是不变的。设三个特征根为$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\lambda_3$，则由根与方程的系数关系有
$$I_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3，$$
$$I_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1，$$
$$I_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3。$$
　　除了以上不变量外，我们还有以下半不变量的概念，我们记
$$K_1=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{14}\\
a_{14}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{24}\\
a_{24}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{33}&a_{34}\\
a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|，$$
$$K_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{14}\\
a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}&a_{14}\\
a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}
\end{array}} \right|。$$

定理2　在保持原点不动的直角坐标变换（即坐标旋转变换）下，$K_1$，$K_2$是不变量，称为半不变量。

　　当$I_3=I_4=0$时，$K_2$是不变量；当$I_2=I_3=I_4=K_2=0$时，$K_1$是不变量。
　　对于二次曲线的方程
$$F(x,y)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}$$
$$=(x,y,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
1
\end{array}} \right)=0，$$
　　记
$$I_1=a_{11}+a_{22}，$$
$$I_2=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{12}&a_{22}
\end{array}} \right|，$$
$$I_3=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|，$$
$$K_1=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{13}\\
a_{13}&a_{33}
\end{array}} \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{22}&a_{23}\\
a_{23}&a_{33}
\end{array}} \right|。$$
　　我们同样可以得到下列定理。

定理1'　$I_1$，$I_2$，$I_3$是二次曲线的不变量。

定理2'　当$I_2=I_3=0$时，$K_1$是二次曲线的不变量。

　　由定理我们从五个简化方程出发，用不变量来描述它们。有下面的定理。

定理3　二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：
（1）当$I_3 \ne 0$时，$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{I_4}{I_3}=0$；
（2）当$I_3=0$，$I_4 \ne 0$时，$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2 \pm 2\sqrt {-\frac{I_4}{I_2}}z=0$；
（3）当$I_3=I_4=0$，$I_2 \ne 0$时，$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{K_2}{I_2}=0$；
（4）当$I_2=I_3=I_4=0$，$K_2 \ne 0$时，$I_1x^2 \pm 2\sqrt {-\frac{K_2}{I_1}}y=0$；
（5）当$I_2=I_3=I_4=K_2=0$时，$I_1x^2+\frac{K_1}{I_1}=0$。
　　其中，$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\lambda_3$分别为二次曲面的非零特征根。

　　同样，对二次曲线也有以下定理。

定理3'　二次曲线用不变量表示它的简化方程如下：
（1）当$I_2 \ne 0$时，$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{I_3}{I_2}=0$；
（2）当$I_2=0$，$I_3 \ne 0$时，$I_1y^2 \pm 2\sqrt {-\frac{I_2}{I_1}}x=0$；
（3）当$I_2=I_3=0$时，$I_1y^2+\frac{K_1}{I_1}=0$。
其中，$\lambda_1$，$\lambda_2$分别是二次曲线的非零特征根。