中心、渐近方向

castelu

　　通过化简后的二次方程，我们已经较清楚地弄清二次方程所表示的是何种曲面（线）。我们还希望了解其在空间中的若干其他几何特征，如对称中心，对称轴，对称面（如果有的话）等，另外诸如渐近线（面），切线（面）等也是我们关注的对象。
　　设二次曲面的方程为
$$S：F(x,y,z)=(\delta^T,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\overline A&\delta\\
\delta^T&a_{44}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha\\
1
\end{array}} \right)=0，$$
　　其中，$\alpha^T=(x,y,z)$，$\overline A=(a_{ij})$是对称矩阵，$\delta^T=(a_{14},a_{24},a_{34})$。记
$$F_1(x,y,z)=\frac{1}{2}\frac{\partial F}{\partial x}=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}，$$
$$F_2(x,y,z)=\frac{1}{2}\frac{\partial F}{\partial y}=a_{12}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}，$$
$$F_3(x,y,z)=\frac{1}{2}\frac{\partial F}{\partial z}=a_{13}x+a_{23}y+a_{33}z+a_{34}，$$
$$F_4(x,y,z)=a_{14}x+a_{24}y+a_{34}z+a_{44}，$$
$$\nabla F(x,y,z)=2(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))=(\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z))。$$
$\nabla F(x,y,z)$称为函数$F(x,y,z)$的梯度向量。
　　设直线$l$过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为$v=(X,Y,Z)$，则直线$l$的参数方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+tX,\\
y=y_0+tY,\\
z=z_0+tZ.
\end{array} \right.$$
　　将
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+tX,\\
y=y_0+tY,\\
z=z_0+tZ.
\end{array} \right.$$
　　代入
$$F(x,y,z)=(\delta^T,1)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\overline A&\delta\\
\delta^T&a_{44}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha\\
1
\end{array}} \right)=0，$$
　　我们得
$$\Phi(X,Y,Z)t^2+2[XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)]t+F(x_0,y_0,z_0)=0，$$
　　即
$$\Phi(X,Y,Z)t^2+v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)t+F(x_0,y_0,z_0)=0。$$

　　我们来讨论方程
$$\Phi(X,Y,Z)t^2+v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)t+F(x_0,y_0,z_0)=0。$$
（1）当$\Phi(X,Y,Z) \ne 0$时，
$$\Phi(X,Y,Z)t^2+v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)t+F(x_0,y_0,z_0)=0$$
　　的判别式
$$\Delta=[v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)]^2-4\Phi(X,Y,Z)F(x_0,y_0,z_0)$$
$1^{\circ}$当$\Delta > 0$时，$l$与$S$有两个不同的实交点；
$2^{\circ}$当$\Delta = 0$时，$l$与$S$有两个相同的实交点；
$3^{\circ}$当$\Delta < 0$时，$l$与$S$没有实交点，有一对共轭的虚交点。
（2）当$\Phi(X,Y,Z)=0$时
$1^{\circ}$当$v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0) \ne 0$时，$l$与$S$有唯一的实交点；
$2^{\circ}$当$v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F(x_0,y_0,z_0) \ne 0$时，$l$与$S$没有交点；
$3^{\circ}$当$v \cdot \nabla F(x_0,y_0,z_0)=F(x_0,y_0,z_0)=0$时，$l$在$S$上。

定义1　满足$\Phi(X,Y,Z)=0$的方向$X$：$Y$：$Z$叫做$S$的渐近方向。否则称为$S$的非渐近方向。

　　由以上讨论知具有渐近方向的直线或与$S$没有交点，或有唯一交点或整条直线在$S$上。
　　由曲面渐近方向的定义可得到经过一固定点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，以二次曲面的渐近方向为方向的所有直线构成的曲面方程是
$$\Phi(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0。$$
　　它是关于$x-x_0$，$y-y_0$，$z-z_0$的二次齐次方程，因而是以$M_0$为顶点的锥面，锥面上每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向。此锥面称为二次曲面的渐近方向锥面。

定义2　点$C$称为二次曲面$S$的中心，如果$S$上任一点$M_1$关于$C$的对称点$M_2$仍在$S$上。

定理　点$C(x_0,y_0,z_0)$是二次曲面$S$的中心的充要条件是
$$F_1(x_0,y_0,z_0)=F_2(x_0,y_0,z_0)=F_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
　　即$\nabla F(x_0,y_0,z_0)=0$。

　　由定理看出二次曲面的中心坐标是方程组
$$F_1(x_0,y_0,z_0)=F_2(x_0,y_0,z_0)=F_3(x_0,y_0,z_0)=0$$
　　的解。它的系数矩阵与增广矩阵分别为$\overline A=(a_{ij})_{1 \le i,j \le 3}$，$B=(\overline A,-\delta)$。由线性方程组有解判别定理知道
（1）当$r(\overline A)=r(B)=3$时，即$I_3 \ne 0$，方程组有唯一解，因而$S$有唯一中心，这种二次曲面称为中心曲面。
（2）当$r(\overline A)=r(B)=2$时，方程组的解构成一条直线，即这条直线上的点都是$S$的中心，这样的二次曲面称为线心曲面。
（3）当$r(\overline A)=r(B)=1$时，方程组的解构成一个平面，即此平面上的点均为$S$的中心，称此曲面为面心曲面。
（4）当$r(\overline A) \ne r(B)$时，方程组无解，即曲面$S$没有中心，称此曲面为无心曲面。
　　线心曲面、面心曲面及无心曲面统称为非中心曲面。

命题　二次曲面为中心曲面的充要条件是$I_3 \ne 0$；二次曲面为非中心曲面的充要条件是$I_3=0$。

　　对二次曲线$\Gamma$而言，渐近方向和中心的概念可以类似地定义，有关的结论也是相仿的。中心满足方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y)=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0,\\
F_2(x,y)=a_{12}x+a_{22}y+a_{23}=0,
\end{array} \right.$$
上式的系数矩阵和增广矩阵分别为
（1）当$r(\overline A)=r(B)=2$时，即$I_2=|\overline A| \ne 0$，方程组有唯一解，即$\Gamma$有唯一中心，称$\Gamma$为中心曲线。例如椭圆、双曲线。
（2）当$r(\overline A)=r(B)=1$时，方程组的解组成一直线，称$\Gamma$为线心曲线。例如两平行直线。
（3）当$r(\overline A) \ne r(\overline B)$时，方程组没有解，即$\Gamma$没有中心，称$\Gamma$为无心曲线。例如抛物线。

定义3　对中心曲面（中心曲线）而言，通过中心并具有渐近方向的直线称为渐近线。以二次曲面的中心为顶点的渐近方向锥面称为二次曲面的渐近锥面。