映射与变换

castelu

定义1　设$S$与$S'$是两个集合，对$S$中任一元素$a$，按某一法则在$S'$中有唯一的元素$a'$与之对应，我们称此法则（即对应关系）为$S$到$S'$的一个映射。记作
$$a：S \to S'，$$
$$a \mapsto a'。$$
　　或者记作$a'=\sigma (a)$，$a \in S$。$a'$称为$a$在映射$\sigma$下的像，$a$称为$a'$在$\sigma$下的一个原像。

　　集合$S$到$S'$的两个映射$\sigma$和$\tau$称为相等，如果对于任意$a \in S$，都有$\sigma (a)=\tau (a)$。
　　集合$S$到自身的一个映射叫做$S$的一个变换。
　　设$S=S'$，法则$I$定义为$a \mapsto a$，$a \in S$，则$I$是$S$到自身的一个变换，此映射称为恒等变换。

平面上的平移　设$S$是平面上所有点的集合，取定一个直角坐标系，给定一个向量$v=(a,b)$。令点$P(x,y)$与$P'(x',y')$的对应关系为$\vec {PP'}=v$，则有
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=x+a,\\
y'=y+b.
\end{array} \right.$$
　　这是$S$到自身的一个变换，称为由$v$决定的平移。公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=x+a,\\
y'=y+b.
\end{array} \right.$$
　　称为平面上的点的平移公式。

注：在形式上平移公式与点的坐标变换中的移轴公式类似，但是含意却完全不同：点的平移公式中，$(x,y)$和$(x',y')$是不同的两个点在同一坐标系中的坐标；而移轴公式中，$(x,y)$和$(x',y')$是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。

平面上的旋转　$S$是平面上所有点的集合，在平面上取定一个直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$，令点$P(x,y)$和$P'(x',y')$的对应关系$\tau$为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)，$$
　　其中，$\theta$是一确定的实数，则$\tau$是$S$上的一个变换，称为平面绕原点的旋转，转角为$\theta$。上式称为平面上转角为$\theta$的旋转公式。

平面上的反射　设$l$是平面上一条定直线，平面上任一点$P$关于$l$的对称点为$P'$。这种从$P$点到$P'$点的映射，称为平面上以$l$为轴的反射。若取$l$为$x$轴建立平面直角坐标系，设$P(x,y)$，$P'(x',y')$，则此反射表示为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&-1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)。$$

　　设$\sigma$：$S \to S'$，我们用$\sigma (S)$表示$S$中的点在$\sigma$下的像的全体，显然有
$$\sigma (S) \subset S'。$$
　　当$\sigma (S)=S'$时，则称$\sigma$是满射或到上的。如果在映射$\sigma$下，$S$中不同元素的像也不同，则称$\sigma$是单射（或$1$-$1$的）。既是单射又是满射的映射称为双射（或$1$-$1$对应）。

定义2　设映射$\sigma_1$：$S \to S'$，$\sigma_2$：$S' \to S''$，则定义乘积映射$\sigma_2\sigma_1$：$S \to S''$为
$$(\sigma_2\sigma_1)(a)=\sigma_2(\sigma_1(a))，a \in S。$$

　　映射的乘法不适合交换律。
　　对于$S$到$S'$的双射$\sigma$，我们可以定义它的逆映射$\sigma^{-1}$：若$\sigma (a)=a' \in S'$，$a \in S$，则定义$\sigma^{-1}(a')=a$。显然，$\sigma^{-1}\sigma=I_S$：$S \to S$，$\sigma\sigma^{-1}=I_{S'}$：$S' \to S'$。
　　易证，$1$-$1$对应的逆映射也是$1$-$1$对应，$1$-$1$对应的乘积也是$1$-$1$对应，映射的乘法满足结合律。

定义3　设$\sigma$：$S \to S$是一变换，若对$a \in S$，满足$\sigma (a)=a$，则称$a$是$\sigma$的不动点，$\left\{a \in S|\sigma (a)=a \right\}$称为$\sigma$的不动点集。

　　平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动（即刚体运动），它是平面到自身上的$1$-$1$变换。
　　平面上点变成点的变换也叫点变换。
　　一个线性点变换
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)，$$
　　当它的变换矩阵$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)$的行列式$\det A \ne 0$时，称为满秩线性变换或非退化线性变换。往后将看到，正交变换和仿射变换在代数上均表现为非退化的线性变换。

定义4　设$G=\left\{\sigma:S \to S|\sigma是S上的变换 \right\}$，如果$G$满足：
（1）恒等变换$I \in G$；
（2）若$\sigma_1 \in G$，$\sigma_2 \in G$，则$\sigma_1\sigma_2 \in G$；
（3）若$\sigma \in G$，则它的逆变换$\sigma^{-1} \in G$。
则称$G$为$S$的一个变换群。