平面的仿射变换

castelu

　　比正交变换较为广泛的一种点变换就是将要讨论的仿射变换。在这里为了简单起见，不同于用几何特征来定义正交变换，我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用这公式研究仿射变换的一些性质。

定义1　平面的一个点变换$\tau$，如果它在一个仿射坐标系中的公式为

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)，$$
　　其中系数矩阵$A=(a_{ij})$是可逆的，即$\det A \ne 0$，则称$\tau$是平面的仿射（点）变换。
　　此定义与仿射坐标系的选取无关。
　　用公式
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)，$$
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)$$
　　确定的正交变换是仿射变换。
　　伸长或压缩（简称伸缩）
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=x,\\
y'=ky
\end{array} \right.（k>0）$$
　　是仿射变换。$x$轴上的每一点是它的不动点，平行于$y$轴的直线都是它的不动直线（不动直线上的点不一定是不动点）；它是平行于$y$轴方向的伸长（$k>1$）或压缩（$k<1$）。在直角坐标系下，它把圆$x^2+y^2=r^2$变到椭圆$\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{k^2r^2}=1$。
　　由公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=kx,\\
y'=hy,
\end{array} \right.（k>0,h>0）$$
　　所确定的变换是仿射变换，它表示分别沿$x$轴、$y$轴方向的两个伸缩变换的乘积。
　　由于仿射变换的系数矩阵是可逆的，因此由可逆矩阵的性质易知：仿射变换的乘积是仿射变换，恒等变换是仿射变换；仿射变换是可逆的，且它的逆变换也是仿射变换。

　　仿射变换还有以下性质。

性质1　仿射变换把直线变成直线。

　　类似于正交点变换诱导平面的一个向量变换，仿射点变换$\tau$也诱导平面的一个向量变换，仍记为$\tau$。如果点变换$\tau$的公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)，$$
　　则向量变换$\tau$的公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u'\\
v'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v
\end{array}} \right)，$
　　其中，$(u,v)$是平面上任一向量$a$的坐标，$(u',v')$是$\tau (a)$的坐标，系数矩阵$A=(a_{ij})$是可逆的，这样的向量变换称为仿射向量变换。
　　今后我们谈到仿射（点）变换$\tau$在向量上的作用时，指的就是$\tau$诱导的向量变换在该向量上的作用。
　　与正交变换类似，我们有以下性质。

性质2　仿射变换保持向量的线性关系不变。

　　根据性质1和性质2，仿射变换把两条平行的直线变为两条平行的直线，而且仿射变换保持共线三点的简单比不变。

性质3　仿射变换将二次曲线变为二次曲线。

　　由性质2还可得到以下定理。

定理1　仿射变换$\tau$把任意一个仿射标架$I$变成一个仿射标架$II$，并且任一点$P$的$I$坐标等于$\tau (P)$的$II$坐标。

定理2　平面上任给两组不共线的三点$A_1$，$A_2$，$A_3$和$B_1$，$B_2$，$B_3$，则存在唯一的仿射变换把$A_i$变到$B_i$，$i=1,2,3$。

定理3　在一个仿射变换下，平面图形的面积按同一比值改变。

　　经过仿射变换$\tau$后，一个三角形在变换后的面积与变换前的面积之比是常数，常数为$\det A$的绝对值，称为仿射变换的变积系数。
　　仿射变换$\tau$的公式中的系数矩阵的行列式与仿射标架的选取无关。设$\tau$在$I$中的公式的系数矩阵为$A$，那么$\tau$在仿射标架$II$中的公式的系数矩阵为$H^{-1}AH$，其中$H$是从$I$到$II$的过渡矩阵，于是
$$\det (H^{-1}AH)=\det H^{-1} \det A \det H=\det A。$$

定义2　设仿射变换$\tau$的系数矩阵为$A$，若$\det A>0$，则称$\tau$是第一类的；若$\det A<0$，则称$\tau$是第二类的。

命题　仿射变换保持二次曲线的直径的共轭性不变。

定理4　平面上的任何一个仿射变换可分解为一个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘积。