齐次坐标、射影平面

castelu

　　在欧式平面$\Pi$上给定一仿射标架$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$，那么任意点$P \in \Pi$有仿射坐标$(x,y)$。我们把与$x$，$y$由关系
$$x=\frac{x_1}{x_2}，y=\frac{x_2}{x_3}$$
　　联系的任何三个不全为零的实数$x_1$，$x_2$，$x_3$称为点$P$关于仿射标架$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$的齐次（仿射）坐标，记为$P[x_1,x_2,x_3]$。若$[x_1,x_2,x_3]$是点$P$的齐次坐标，则对任意非零实数$\lambda$，$[\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3]$也是点$P$的齐次坐标，因而点$P$的齐次坐标不唯一。对于$P \in \Pi$，显然有$x_3 \ne 0$。点$P$的仿射坐标$(x,y)$称为点$P$的非齐次（仿射）坐标。对于齐次坐标$[x_1,x_2,0]$不表示$\Pi$上的任何点，我们把齐次坐标为$[x_1,x_2,0]$的“点”称为无穷远点。$\Pi$加进这些无穷远点后称为扩大的欧式平面，记为$\overline {\Pi}$。我们把扩大的欧式平面称为射影平面。平面$\Pi$上的点称为$\overline {\Pi}$的通常点。

　　扩大的欧式平面是射影平面的一种模型，下面再介绍两种。
（1）解析模型　在去掉原点$O$的欧式空间$R^3 - \left\{O \right\}$中定义一种关系$\sim$：$点P(x_1,y_1,z_1) \sim 点P'(y_1,y_2,y_3)$当且仅当存在非零实数$\lambda$，使$\vec {OP}=\lambda \vec {OP'}$，即$(x_1,y_2,x_3)=\lambda(y_1,y_2,y_3)$。很明显关系$\sim$是等价关系，$R^3 - \left\{O \right\}$关于等价关系$\sim$的等价类的集合构成射影平面的解析模型，记为$P^2$或$RP^2$。点$P(x_1,y_1,z_1)$的等价类记为$[x_1,x_2,x_3]$。直观上，$P^2$是把空间中过原点的直线视为一点，即$P^2=\left\{R^3中过原点的直线 \right\}=\left\{[x_1,x_2,x_3]|(x_1,x_2,x_3) \in R^3 - \left\{O \right\}\right\}=R^3 - \left\{O \right\} / \sim$。实际上，$[x_1,x_2,x_3]$是$\overline {\Pi}$上的点关于某一仿射标架的齐次坐标。因此，$\overline {\Pi}$上齐次坐标为$[x_1,x_2,x_3]$的点可理解为坐标为$(x_1,x_2,x_3)$的向量，共线的非零向量在$\overline {\Pi}$上表示同一点。
（2）几何模型　取定$R^3$中的一个球面，不妨取中心在原点，半径为$1$的单位球面$S^2$，在$S^2$上定义一种关系$\sim$：$P \sim P'$当且仅当$P$，$P'$是一对对径点。关系$\sim$是等价关系，$S^2$上关于$\sim$的等价类的集合就组成射影平面的几何模型，记为$S^2 / \sim$。

　　由于每一对径点确定空间中过原点的唯一一条直线，因而本质上，$\overline {\Pi}$，$P^2$，$S^2 / \sim$是一样的。因为$\overline {\Pi}$更为直观，因此我们用$\overline {\Pi}$作为射影平面的模型。其中解析模型$P^2$更容易推广到高维的情形，即$n$维射影空间$P^n=\left\{R^{n+1}中过原点的直线 \right\}$。
　　因为欧式平面$\Pi$上的任何直线都由方程
$$a_1x+a_2y+a_3=0（a_1^2+a_2^2 \ne 0）$$
　　给出，并且任何这样的方程都是某一条直线的方程，所以$\Pi$上的任何直线在齐次坐标下都由方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0（a_1^2+a_2^2 \ne 0）$$
　　给出，并且任何一个这样的方程都对应着$\Pi$上的一条直线。
　　我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线，根据无穷远点的齐次坐标的特点，无穷远直线可由方程$x_3=0$来表示。
　　于是，射影平面上，任何方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0，$$
　　其中$a_1^2+a_2^2+a_3^2 \ne 0$，都是某条直线的方程。如果$a_1^2+a_2^2 \ne 0$，则称为射影直线。如果$a_1=a_2=0$，则
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0。$$
　　表示无穷远直线。方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
　　称为直线的普通方程。
　　在射影平面上，任何两条直线都相交，这时因为线性方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0,\\
b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=0,
\end{array} \right.$$
　　总有非零解。特别地，两条平行直线交于无穷远点。
　　对于射影直线而言，如果其方程为
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0，$$
　　则无穷远点$[-a_2,-a_1,0]$在此射影直线上，且是此射影直线上的唯一的无穷远点。实际上，$(-a_2):a_1$表示仿射坐标中的直线$a_1x+a_2y+a_3=0$的方向，因而直观上，射影直线就是欧式平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。
　　如果中心投影在两个射影平面$\overline {\Pi_0}$和$\overline {\Pi_1}$上进行，就能使中心投影成为一个双射$\tau:\overline {\Pi_0} \to \overline {\Pi_1}$，其中投影中心$O \notin \overline {\Pi_0} \cup \overline {\Pi_1}$。如果点$P \in \Pi_0$，使$OP$与$\Pi_1$交于点$P'$，则$\tau (P)=P'$；如果点$N \in \Pi_1$使$ON \parallel \Pi_0$，则$N$的原像为$\Pi_0$中与$ON$平行的直线$l$上添加的无穷远点；如果点$M \in \Pi_0$使$OM \parallel \Pi_1$，则$M$的像为$\Pi_1$中与$OM$平行的直线$l'$上添加的无穷远点；直线$\left\{M \in \Pi_0|OM \parallel \Pi_1 \right\}$上添加的无穷远点的像为直线$\left\{N \in \Pi_1|ON \parallel \Pi_0 \right\}$上的无穷远点。
　　由于射影平面上的直线方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
　　是三元一次齐次方程，所以$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$与$b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=0$表示同一直线当且仅当存在非零实数$\lambda$，使$(a_1,a_2,a_3)=\lambda (b_1,b_2,b_3)$。于是我们可以用直线方程的系数$(a_1,a_2,a_3)$来表示直线，把$(a_1,a_2,a_3)$称为直线的齐次坐标。
　　方程
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
　　表示直线$(a_1,a_2,a_3)$上的所有点，称为直线的点方程。如果让$(a_1,a_2,a_3)$变动，
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$
　　表示过固定点$[x_1,x_2,x_3]$的所有直线，故又称为点的线方程。经过定点的所有直线称为线束。