挑战高难度：指数不定方程(3)

zhshiling

求所有的整数对（a，b），a>=1，b>=1,满足等式 a ^b^2 = b^a

注：b^2指b的二次方，令 b^2 = t， a ^b^2 = a^t

秘密时空

如果a=b,则a=b=1
如果a不等于 ,易证:a>1,b>1
由算术基本定理
a=p1^m1*p2^m2*p3^m3*****pk^mk
b=q1^n1*q2^n2********qr^nr
带入
a ^b^2=p1^(b^2*m1)*p2^(b^2*m2)****pk^(b^2*mk)
b^a=q1^(a*n1)*q2^(a*n2)*****qr^(a*nr)
p1<p2<......<pk.q1<q2<......<qr
若a ^b^2 = b^a
则a ^b^2 和 b^a分解因式后形式相同,既素因数也相同
得到pi=qi
b^2*mi=a*ni,m/n=a/b^2
所以满足的是a=(求和符号)pi^mi,b=(求和符号)pi^ni